Передаточные функции элементов автоматических систем

Золотниковый гидрораспределитель

 

Золотниковые гидрораспределители (41 широко применяются в автоматических системах автомобилей. С их помощью легко решаются задачи многопозиционности и они уравновешены от статических сил давления, обладают малым трением, сравнительно просты по конструкции. Схема гидравлического золотника показана на рис,2

Подробное описание дифференциального уравнения движения золотника приведено в разделе 2.2.

На основании преобразования Лапласа и при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение в операторной форме будет иметь вид

 

T²₂ S² Y (S) + T₁ (S) + Y(S) = K X(S) (5.1)

 

Тогда передаточная функция золотникового гидрораспределителя

 

W(S) = Y(S)/X(S) = K /[T²₂ S² + T₁ S + 1] (5.2 )

 

где T²₂ = m/c, T₁ = y/c, К = 1/с.

Это колебательное звено. Действительно, если масса плунжера велика, то золотник склонен к колебаниям при малой жесткости пружины. При (m/с)—> 0. что часто имеет место, передаточная Функция будет иметь вид

 

W(s) = K/ [T₁ S + 1] - это апериодическое звено.

 

В тех случаях (довольно часто), когда Т исполнительного элемента не меньше,чем на порядок превосходит Т золотника,топоследней можно пренебречь и золотник рассматриватькакбезынерционное звено.

 

Пневматический клапан

 

Пневматический клапан (рис.5.1) является однимиз основных элементов пневматических систем управления. От правильного выбора его параметров зависит быстродействие пневматического привода, устойчивость его работы, качество переходного процесса. При рассмотрении динамики клапана пренебрегаем теплообменом с окружающей средой.

По законам газовой динамики скорость изменения давления воздуха в исполнительном элементе (на выходе из клапана)при малых открытиях клапана будет определяться

 

dp_k/dt = KX (5.3)

 

 

где X - перемещение (величина открытия)-клапана.

К = f(p.q.U) - коэффициент усиления клапана, зависящий от:

р - давления воздуха в полости источника давления (ресивере);

q - отношения давления воздуха в полости за клапаном к давлению

р (обычно при рассмотрении динамики систем особый интерес

представляет случай 0 < q < 0.5282 - критический режим истечения, при

котором f(q) = const).

U - объем емкости, куда происходит истечение воздуха.

Риc.5.1. Пневматический клапан.

Х - перемещение клапана.

Рк - давление воздуха на выходе из клапана,

Р -давление воздуха на входе в клапан.

При р = const. U = const. f(q) = const параметр К есть величина постоянная и дифференциальное уравнение в операторной форме для пневматического клапана будет

 

s p_k (s) = К X(s). (5.4)

 

Тогда, полагая X(s) - изображение входного параметра, a p(s) -изображение выходного параметра, передаточная функция имеет вид:

 

W(s) = p_k (s)/X(s) = K/s. (5.5)

 

то есть пневматический клапан при такой моделировании может быть описан интегрирующим звеном.

 

Исполнительный элемент

 

В качестве исполнительных элементов чаде всего используют гидравлические и пневматические поршневые цилиндры и мембранные камеры. Здесь выходной параметр - перемещение штока, а входная величина – давление, подаваемое в рабочую полость.

Тогда передаточная функция элемента будет иметьвид

 

W(s) = X(s)/p(s) = f/(m s² + v s + с). (5.6)

 

где m - масса подвижных частей исполнительного механизма.

f - эффективная площадь поршня.

u - коэффициент вязкого трения

с - жесткость возвратной пружины.

 

Центробежный механизм

 

На автомобилях и тракторах центробежные механизмы используются весьма широко: в автоматизированных приводах сцеплений, центробежных сцеплениях, системе зажигания карбюраторных двигателей, регуляторах частот вращения двигателей, автоматических гидропередачах.

Центробежные механизмы имеют такие положительные свойства,какполучение больших усилий на управляющем органе, простота конструкции, надежность, стабильность в работе (на работу не влияют окружающая температура, давление воздуха, вибрации), большое быстродействие, малая приводная мощность. Они широко применятся в регуляторах давления и других следящих устройствах. Бывают двух типов: рычажный и безрычажный.

На рис.5.2 показан рычажный центробежный механизм. Из условия равновесия грузов сила. приложенная к штоку механизма в результате действия центробежной силы грузов будет иметь вид

 

F = Fu w R i

 

где i - передаточное число рычагов.

Центробежные механизмы могут проектироватьсятак, что

а) R i = const.

б) R i ¹ const.

 

Рис.5.2. Схема рычажного центробежного механизма.

Рассмотрим оба случая.

1 случай: Ri = const. Тогда при изменении частоты вращенияна

dw (w = w₀ + dw) можно написать дифференциальное уравнение в приращениях следующим образом:

 

m(dX)ⁿ + v dX)¹ + c(dX) = dF (5.7)

 

где m - приведенная масса поступательно - движущихся частей: v - коэф­фициент вязкого трения; с - жесткость возвратной пружины. С учетом того, что dF = m Ri (dw)² = m Ri 2 w₀ dw, преобразуем дифференциальное уравнение по переменной время t и, преобразовав последнее уравнение в уравнение в операторной форме по переменной s:

 

(mS² + vS + c) X (s) = 2m Ri w₀ w(s) = K w(s)

 

где К = 2m, Ri w₀ - коэффициент усиления центробежногомеха­низма. Тогда передаточная функция центробежного механизма будет иметь вид -

 

W(s) = X(s)/w(s) = K/(ms² + vs + c) (5.8)

 

 

из чего следует,что центробежный механизм являетсяколебательным звеном.

Полученную передаточную функцию можно представить в видедвухпоследовательно соединенных типовых динамических звеньев:

- усилительного с передаточной функцией W (s) = F (s)/W(s)= К,

- колебательного W (s) = X(s)/F (s) = 1/(ms² + vs + с).

Условие устойчивости центробежного механизма можно определить по критерию Гурвица как для уравнения третьего порядка

m > 0, v > О, с > 0.

Отсюда видно, что такой центробежный механизм всегда устойчив.

Условия, при которых Ri = const. Из схемы для рычажного центробежного механизма имеем:

 

R = h + r Sin(a); а = r Cos(a); и i = r Cos(a)/b; i= а/b.

Тогда Ri = {[h + г Sin(a)] r Cos(a)}/b,

откуда Ri b/r = (h/r) Cos(a) + Sin(a) Cos(a).

 

Для получения условий, при которых Ri = const.найдем производную полученного выражения по углу (a) и приравниваемее кнулю:

 

(h/r)(-Sin(a)) + Cos(a) Cos(a) - Sin(a)Sin(a) =

= - (h/r) Sin(a) + Cos2(a) =0

 

Так как отношение h/r > 0, то всегда угол (a) < 45. После расчета, получим следующую таблицу:

 

отношение h/r 0.5 1.0 2.0 3,0 4.0 ¥

угол (a) 37 30 26 22 17 0

 

2 случай: Ri ¹ const. но i = const. Тогда можно записать

 

dF = d(m Ri w) = m i R d(w) + m i w₀ d(R)

 

Далее полагая, что при малых перемещениях штока

 

R= Xi

 

иподставляя все в дифференциальное уравнение получим

 

m(dX)ⁿ + v (dX) + (c – m iw₀) (dX) = 2mRi w₀d(w)

 

Здесь 2mRiw₀ = Km-.коэффициент усиления центробежного механизма, а (с – m i w₀) = C₃ - эквивалентная жесткость пружины на штоке центробежного механизма.

Тогда передаточная функция такого центробежного механизма будет иметь вид

 

W() = X(s)/w(s) = K_m /(ms + vs + с₃) (5.9)

 

Таким образом, для центробежного механизма с Ri ¹ const вместо С следует рассматривать С₃- эквивалентную жесткость пружины, которая называется коэффициентом самовыравнивания или фактором устойчивости, так как для устойчивости необходимо, чтобы:

(c – m i w₀) > 0, то есть с > m i w₀.

Следовательно только при определенных значениях параметров с, m, i и w₀ центробежный меха­низм будет устойчив.