ТОП 10:

Косвенные методы оценки устойчивости



 

Алгебраические критерии устойчивости предложены Э.Раусом в 1877г. и А.Гурвицем в 1895г. С помощью этих критериев определяется соотношение между коэффициентами характеристического уравнения. Для рассмотрения обоих критериев возьмем характеристическое уравнение пятого порядка:

 

A0 s5 + A1s4 + A2s3 + A3s2 + A4s = 0 (4.5)

 

1) Критерий Гурвица.Из коэффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют матрицу Гурвица следующего вида:

 

 

A1 A3 A5
A A2 A4
A1 A3 A5
A A2 A4
A1 A3 A5

 

Матрица составляется следующим образом:

1) Главная диагональ -из коэффициентов характеристического уравнения начиная с А1 до А5.

2) Строки - из коэффициентов этого уравнения: справа от главной диагонали - в порядке увеличения индекса через единицу; слева от главной диагонали в порядке уменьшения индексов. При этом коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения и коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.

Для выполнения условия устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (определители Гурвица) матрицы были положительны, то есть

 

    A1 A3   A1 A3 A5        
A1 > 0;       > 0;   A0 A2 A4 > 0;    
        A0 A2       A1 A3        

 

Тогда условия устойчивости можно сформулировать в виде:

а) Для уравнений первого и второго порядка – положительностьвсех коэффициентов характеристического уравнения. Это условиетакженеобходимо для уравнения любого высшего порядка.

 

б) Для уравнения третьего порядка:

 

(A1 A2 > A0 A3)

в) Для уравнения четвертого порядка:

 

( A1 A2 A3 > A0 A23 + A21 A4 )

г) Для уравнения пятого порядка:

 

( A1 A2 - A0 A3)( A3 A4 – A2 A5 ) > (A1 A4 – A0 A5 )2

2) Критерий Рауса. По этому критерию необходимо составитьтаблицуРаусаиз коэффициентов характеристического уравнения приА0 > 0.Такая таблица для характеристического уравнения (4.5) будетиметь следующий вид.

Таблица заполняется следующим образом:

а) Первая и вторая строки - из коэффициентовс четными и снечетными индексами, соответственно.

б) Остальные строки - из расчетных коэффициентов табл. 4.1.

в) Таблица заполняется до тех пор, пока при заданном уравнениине получится строка, содержащая значащий коэффициент, соответствующий свободному члену уравнения только в первом столбце.

 

 

Таблица 4.1

Коэффи -циент К № строки № столбца
- A0 A2 A4
- A1 A3 A5
K13 = A0 / A1 C23 = A2 – K13 A3 C33 = A4 – K13 A5 C43 = 0
K14 = A1 / C23 C24 = A3 – K14 C33 C34= A5 - 0 C44 = 0
K15 = C23 / C24 C25 = C33 – K15 C34 C35 = 0 C45 = 0
K16 = C24 / C25 C26 = C34 = A5 C36 = 0 C46 = 0

 

Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца были положительны, то есть

 

A0 > 0. A1 > 0. C23 > 0. C24 > 0. C25 > 0. C26 > 0.

 

3) Критерий устойчивости Михайлова. Этот частотный критерий устойчивости был введен в 1938г. А.В.Михайловым. Из существующих частотных методов этот метод получил наибольшее распространение. Анализ устойчивости системы сводится к построению по характеристическому уравнению характеристической кривой или годографа, по виду которого можно судить о состоянии системы сточкизрения устойчивости.

Годограф рассчитывается и строится следующим образом (рассмотрим пример для уравнения пятого порядка согласно уравнения (4.5):

а) Заменяем в данном уравнении комплексную переменную sна выражение (iw)

 

A0 (jw)5 + A1 (jw)4 + A2(jw)3 + A3 (jw)2 + A4 (jw) + A5 = 0.

 

б) Возводим члены (jw) полученного уравнения в соответствующие степени

 

A0 jw5 + A1 w4 - A2 jw3 – A3 w2 + A4 jw + A5 = 0.

 

в) Разделяем вещественные и мнимые части полученного многочлена и выписываем их отдельно друг от друга

 

Re(w) = A5 - A3 w2 + A1 w4 - вещественные части,

Jm(w) = A4 w – A2 w3 + A0 w5 - мнимые части.

 

г) Подсчитываем величины Re(w) и Jm(w) для каждого значения w от О до + бесконечности.

д) Строим годограф на комплексной плоскости, то есть кривую по расчетным величинам Re(w) и Jm(w) для соответствующих значений частот w1, w2, w3…. и так далее. Через полученные точки проводим кривую, которая и является годографом Михайлова. При этом удобно вначале находить точки пересечения годографа с осями координат. Для точек на вещественной оси принимаем Jm(w) = 0 откуда находят значения частот, которые затем подставляют в выражение для Re(w).

Полученные при этом значения Re(w). являются абсциссами точек пересечения годографа с вещественной осью. Затем для точек на мнимой оси принимаем Re(w) = 0, и далее аналогично.

Критерий Михайлова пригоден для анализа устойчивости систем любого порядка. На рисунке рис.4.2. показаны примеры трех годографов;

1 - для устойчивой системы, 2 и 3 - для неустойчивых систем.

Рис.4.2. Годографы Михайлова.

 

Автоматическая система устойчива, если годографпри изменении частоты и от 0 до + бесконечности:

а) начинается на положительной части вещественной оси:

б) обходит в направлении против часовой стрелки последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения:

в) нигдене обращается в нуль.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.232.62.209 (0.006 с.)