Назначение и основные возможности программного пакета MathCAD.

Назначение и основные возможности программного пакета MathCAD.

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов -MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design — системы автоматизированного проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Основные возможности

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций операторов для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

— Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

— Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

— Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте

— Выполнение вычислений в символьном режиме

— Выполнение операций с векторами и матрицами

— Символьное решение систем уравнений

— Аппроксимация кривых

— Выполнение подпрограмм

— Поиск корней многочленов и функций

— Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей

— Поиск собственных чисел и векторов

— Вычисления с единицами измерения

— Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

— С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.

 

Из чего состоит библиотека встроенных функций.

Мощная библиотека встроенных функций позволяет решать широкий круг инженерных и математических задач:

• Решение задач с использованием численных методов
• Решение систем уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных с помощью различных методов
• Поиск корней многочленов и функций
• Символьные вычисления выражений, в том числе систем уравнений
• Работа с единицами измерения, автоматическая проверка единиц измерения
• Создание 2D, 3D, полярных и контурных графиков
• Работа с векторами и матрицами
• Инструменты программирования
• Возможность вставки ссылок на другие листы Mathcad для повторного использования общих инженерных методов
• Интеграция с другими инженерными приложениями и инструментами моделирования, такими как Autocad, Creo, Pro/ENGINEER, Ansys, Excel

 

Типы данных.

Наиболее простой и распространенный ввод-вывод данных в MathCAD реализован присваиванием и выводом (либо численным, либо символьным) непосредственно в документе. Переменные и функции, посредством которых осуществляется ввод-вывод, могут иметь значения различных типов (числовые, строковые и т. д.). Перечислим основные типы данных, которые обрабатываются процессорами системы MathCAD:
- числа (в том числе, действительные, комплексные, а также встроенные константы) - MathCAD хранит все числа в формате двойной точности с плавающей точкой (не разделяя их на целые, булевы и т. д.);
- строки - любой текст, заключенный в кавычки;
- массивы (в том числе, ранжированные переменные, векторы и матрицы) - упорядоченные последовательности чисел или строк. Рассмотрим более подробно типы данных и то, как осуществляется их непосредственный ввод в документ с помощью присваивания значения переменным.
4.1.1. Действительные числа
Любое выражение, начинающееся с цифры, MathCAD интерпретирует как число. Поэтому для ввода числа просто начните его набирать на клавиатуре. Несмотря на то, что MathCAD хранит все числа в одинаковом формате, вводить их можно в наиболее подходящем представлении (notation), исходя из контекста документа:
- как целое число;
- как десятичное число (decimal notation) с любым количеством десятичных цифр после точки;
- в представлении с порядком (exponential notation) - в так называемом научном формате или представлении (scientific notation), для чего после ввода числа напечатайте символ умножения и введите 10 в нужной степени;
- как число в другой системе счисления.
Три первых представления иллюстрируются содержанием соответствующей строки листинга 4.1.
При вводе целых чисел, больших или равных 1000, все цифры пишутся слитно (как показано в первой строке листинга 4.1), и ни в коем случае не разделяются на порядки запятыми. Например, ввод числа 1000 как 1,000 или 1.000 недопустим.
Листинг 4.1. Ввод действительных чисел

Примечание
Если вы продолжите листинг 4.1 последовательным выводом всех переменных, то с удивлением обнаружите, что некоторые из чисел выглядят по-иному (например, число d=0). Объяснение этому будет дано в разд. 4.2.

Для ввода числа в других системах счисления: двоичной (binary), восьмеричной (octal) или шестнадцатеричной (hexadecimal), сделайте следующее:
1. Введите его представление в соответствующей системе, применяя лишь корректные символы (для двоичной системы допустимы только цифры О и 1; для восьмеричной - цифры от 0 до 7, для шестнадцатеричной - цифры от 0 до 9 и буквы от а до f) Например, число 34 в двоичной системе представлено такой последовательностью: 100010.
2. После ввода последнего символа числа введите ь (для двоичного числа), о (для восьмеричного числа), или h (для шестнадцатеричного).
Использование чисел в других системах счисления иллюстрируется листингом 4.2. Обратите внимание, что вывод осуществляется все равно в десятичной системе.
Листинг 4.2. Ввод чисел в других системах исчисления

Примечание
В логических функциях используются битовые числа (ложь или истина). Они в MathCAD обозначаются обычными действительными числами о и 1.

4.1.2. Комплексные числа
Большинство операций в среде MathCAD по умолчанию осуществляются над комплексными числами. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу (imaginary unit) i. По определению,
i = корень -l ИЛИ i²=-l.
Чтобы ввести мнимое число, например 3i:
1. Введите действительный сомножитель (з).
2. Введите символ "i" или "j" непосредственно после него.
Для ввода мнимой единицы надо нажать клавиши <1>, <i.>. Если просто ввести символ "i", то MathCAD интерпретирует его как переменную i. Кроме того, мнимая единица имеет вид 1i, только когда соответствующая формула выделена. В противном случае мнимая единица отображается просто как i (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Ввод мнимой единицы
Комплексное число можно ввести в виде обычной суммы действительной и мнимой частей, или в виде любого выражения, содержащего мнимое число. Примеры ввода и вывода комплексных чисел иллюстрируются листингом 4.3.
Листинг 4.3. Комплексные числа

Для работы с комплексными числами имеются несколько простых функций и операторов (см. разд. "Функции работы с комплексными числами" гл. 10), действие которых показано в листинге 4.4.
Листинг 4.4. Функции работы с комплексными числами

Примечание
Можно выводить мнимую единицу в результатах вычислений не как i, а как j. Для смены представления выберите нужное в списке Imaginary Value (Мнимое значение) диалогового окна Result Format (Формат результата), доступного по команде Format / Result / Display Options (Формат / Результат / Опции отображения).

4.1.3. Встроенные константы
Некоторые имена в MathCAD зарезервированы под системные перемени которые называются встроенными константами (built-in constants). Встроные константы делятся на два типа: математические, хранящие значение некоторых общеупотребительных специальных математических СИМВОЛОВ системные, определяющие работу большинства численных алгоритмов, реализованных в MathCAD.
Математические константы (math constants)
- символ бесконечности (вводится клавишами <Ctrl>+<Shift>+<z>
- е - основание натурального логарифма (клавиша <е>);
- число "пи" (вводится клавишами <Ctrl>+<Shift>+<p>);
- i, j - мнимая единица (вводится клавишами <1>, <i> или <1>, <j>);
- % - символ процента, <%>, эквивалентный o.o1
Математические константы по-разному интерпретируются при численны символьных вычислениях. Вычислительный процессор просто воспринимает их как некоторые числа (листинг 4.5), а символьный распознает каждое из них, исходя из математического контекста, и способен выдавать матемаческие константы в качестве результата.
Листинг 4.5. Значения математических констант

При желании можно изменить значение любой из перечисленных констант или использовать их в качестве переменных в расчетах (см. листинг 4.1, в котором переопределена константа е). Разумеется, если присвоить константе новое значение, прежнее станет недоступным.
Системные переменные (system variables)
-TOL - точность численных методов (см. часть III);
-CTOL - точность выполнения выражений, используемая в некоторых численных методах (см. часть III);
-ORIGIN - номер начального индекса в массивах (см. разд. 4.3.1);
-PRNPRECISION - установка формата данных при выводе в файл (см. гл.15);
- PRNCOLWIDTH - установка формата столбца при выводе в файл (см. гл. 15);
- CWD - строковое представление пути к текущей рабочей папке.
Предустановленные значения системных переменных перечислены в листинге 4.6. Их можно поменять в любой части документа, присвоив соответствующей переменной новое значение. Кроме того, переопределение значения переменной для всего документа производится при помощи команды Math / Options / Built-in Variables (Математика / Опции / Встроенные переменные) в диалоговом окне Math Options (Опции математики), приведенном на рис. 4.2. Чтобы в любой момент вернуть значения по умолчанию, нажмите кнопку Restore Defaults (Восстановить установки по умолчанию).
Листинг 4.6. Предустановленные значения системных переменных


Рис. 4.2. Вкладка Built-in Variables диалога Math Options
4.1.4. Строковые выражения
Значением переменной или функции может быть не только число, но и строка, состоящая из любой последовательности символов, заключенной в кавычки (листинг 4.7). Для работы со строками в MathCAD имеется несколько встроенных функций (см. разд. "Строковые функции" гл. 10).
Листинг 4.7. Ввод и вывод строк

Примечание
Совершенно аналогичным образом можно определять пользовательские функции строкового типа.

 

Массивы в Mathcad

Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел - матрицей. Общий термин для вектора или матрицы - массив. При работе с матрицами используется панель инструментов “Матрицы”:

Действия с матрицами.

Арифметические операции с матрицами производятся так же, как и с обычными переменными. Пусть даны две матрицы 5х4 -- B1 и B2. Чтобы сложить их, достаточно записать «B1 + B2» и символ «=». Аналогично производится вычитание и умножение.
При работе с матрицами необходимо постоянно следить за их размерностью, потому что многие действия не могут быть выполнены при несоответствии размерностей матриц. Например, не удастся умножить матрицу B1 на B2, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй.
Для транспонирования используется кнопка «Транспонирование матрицы» на панели «Матрица». Чтобы произвести транспонирование матрицы B1, введем ее имя, вставим символ транспонирования и введем знак равенства.
На панели «Матрица» расположены еще два часто используемых на практике инструмента - обращение матрицы и вычисление определителя. Матрица, для которой находятся определитель или обратная матрица, должна быть квадратной. Например, зададим матрицу B размерностью 3х3 и найдем обратную ей. Для этого запишем «B», символ обращения и «=». Если определитель матрицы нулевой, то обратную ей найти невозможно.
В нижней части панели «Матрица» расположены три операции, применимые только к векторам - скалярное произведение, векторное произведение и сумма вектора. В качестве примера найдем векторное произведение двух векторов - первого и второго столбцов матрицы B. Для этого вставим символ векторного произведения, щелкнув по соответствующей кнопке на панели «Матрица», и введем в пустые поля выражения для первого и второго столбцов матрицы B. В результате мы получили новый вектор, являющийся векторным произведением указанных двух векторов.
Если необходимо получить сумму элементов вектора, нужно воспользоваться кнопкой «Сумма векторов». В поле ввода нужно записать имя вектора и далее - символ численного расчета. Например, сумма элементов первого столбца матрицы B равна 12.

 

Построение графика функции.

 

 

16. Решение уравнения с одним неизвестным: root(f(х),х); root(f(х),х,а,b).

Для решения уравнения с одним неизвестным в Mathcad, помимо вычислительного блока Given/Find, предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней.

• root(f(x),x);
• root (f (x), x, a, b);

· f(x) — скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;

· х — имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;

· а, b — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root, аналогично встроенной функции Find, требует дополнительного задания начального значения переменной х, для чего нужно просто перед применением функции root присвоить х некоторое число. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня, т. к. поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Пример работы функции root объясняется листингом 5.13.

Листинг 5.13. Два варианта уравнения методом секущих

Как вы можете убедиться (первая строка листинга 5.13), для решения уравнения при помощи функции root (f (x),x,a,b) не требуется задавать начального приближения, а достаточно указать интервал [а,b]. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях. Во-первых, внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно. Во-вторых, значения f (а) и f (b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

В чем же отличие встроенной функции Find от функции root? Оно состоит в том, что для решения одних и тех же задач используются различные численные алгоритмы (градиентные и метод секущих соответственно). В примерах уравнений с одним неизвестным, которые мы рассматривали до сего момента, выбор метода не влиял на окончательный результат, поскольку фигурировавшие в них функции были "хорошими", т. е. достаточно гладкими для поиска корня одним из градиентных методов, требующих, как известно, вычисления производных. Между тем бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

Приведем пример простой функции f(x), корни которой удается отыскать только при помощи функции root (листинг 5.14). Она определена в первой строке этого листинга, а ее корень вычислен во второй строке. Из графика, представленного на рис. 5.5, видно, что f (х) имеет особенность в окрестности своего корня, являясь в ней разрывной. В завершающей части листинга 5.14 предпринимается попытка отыскать нулевое значение f (х) посредством вычислительного блока Given/Find, которая оказывается неудачной.

Листинг 5.14. Пример уравнения, которое удается решить только методом секущих

Рис. 5.5. Модельная функция f (х) (продолжение листинга 5.14)

Остается добавить, что f (х) может быть функцией не только х, а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции root необходимо определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение. Эта возможность проиллюстрирована листингом 5.15 на примере функции двух переменных f (x,y)=x²-y²+1. В нем сначала решается уравнение f (х, 0) =0 относительно переменной х, а потом — другое уравнение f (0, у) =0 относительно переменной у, причем, благодаря удачному подбору начальных значений, вычисляются все корни данного квадратичного уравнения.

Таким образом, в обоих случаях один из аргументов функции f (х) воспринимается как неизвестное, а другой — как параметр. Не забывайте при численном решении уравнений относительно одной из переменных предварительно определить значения остальных переменных. Иначе попытка вычислить уравнения приведет к появлению ошибки "This variable or function is not defined above", в данном случае говорящей о том, что другая переменная ранее не определена.

ПРИМЕЧАНИЕ
Для того чтобы отыскать зависимость корней уравнения, вычисленных по одной переменной, от других переменных, разработаны специальные эффективные алгоритмы. Об одной из возможностей читайте в разд. 5.3.3.

Листинг 5.15. Поиск корней уравнения, зависящего от двух переменных

 

Наложение связей.

Наложение связей в опорных узлах

Для выполнения этой операции во вкладке Назначение инструментальной панели с помощью кнопки Установка связей в узлах вызываем диалоговое окно Связи. В режиме Полная замена активизируем кнопки X, Z, UY (рис. 3.21) и нажимаем кнопку OK. Выделяем курсором на схеме узлы: 1, 2 и нажимаем кнопку Подтверждение инструментальной панели, которая обеспечивает жесткое защемление опорных узлов 1 и 2 рамы в плоскости XоZ. Подобную операцию повторяем для шарнирно-неподвижного узла 3 (активизацией кнопок X, Z). Визуальный контроль правильности постановки опорных связей выполняем нажатием кнопки Связи на панели Фильтры отображения.

 

Задание нагрузок.

Функции задания нагрузок содержатся в разделе Загружения инструментальной панели.

Режим задания нагрузок включает функции, обеспечивающие автоматическое формирование собственного веса конструкции, задание динамических и статических нагрузок различного вида на узлы и элементы схемы, сохранение назначенных нагрузок в виде схем загружений или групп нагрузок. Зададим нагрузки на учебную расчетную схему в виде двух загружений:

Загружение 1 – описывает постоянную нагрузку на перекрытиях и покрытиях и собственный вес колонн, которые задаются как равномерно распределенная нагрузка на ригели – 4.36 т/м, и равномерно распределенная нагрузка на колонны – 0.66 т/м. Нагрузки задаются по направлению оси Z общей системы координат;

Загружение 2 – описывает временную с пониженным нормативным значением нагрузку. Задается аналогично загружению 1, но с другими значениями нагрузок – соответственно 3.57 и 0.54 т/м.

Для задания этих нагрузок воспользуемся следующими кнопками инструментальной панели:

• ввод нагрузок на стержневые элементы;
• очистка текущего загружения или группы;
• запись загружения.

Для ввода нагрузок необходимо выполнить следующие операции:

• нажать кнопку задания нагрузок на стержневые элементы и задать в открывшемся диалоговом окне вид, направление и значение первой нагрузки;
• нажать кнопку ОК в диалоговом окне;
• выбрать на схеме элементы, которым назначается нагрузка;
• нажать кнопку в инструментальной панели режима Загружения;
• повторить описанные выше действия для второго вида нагрузки первого загружения.

Если активизировать фильтр отображения распределенных нагрузок, то введенные нагрузки будут показаны на расчетной схеме. При включенном фильтре визуализации значений нагрузки рядом с нагрузкой будет показано ее значение.

Для записи загружения надо нажать кнопку в инструментальной панели. В диалоговом окне Сохранить загружение ввести имя загружения и нажать кнопку ОК. Ввод имени не является обязательным, но эта информация позволяет лучше ориентироваться при анализе исходных данных и результатов расчета. Номер загружению будет присваивается автоматически (с согласия пользователя), о чем сообщается в специальном окне.

Перед тем, как ввести следующее загружение, воспользуйтесь операцией – очистка текущего загружения. При ее выполнении происходит очистка схемы от нагрузок текущего загружения. После этого можно готовить новое загружение. Если при записи загружения ему присвоить номер ранее созданного, то оно будет записано вместо него.

 

Раздел Деформации.

В этом режиме предусмотрено выполнение следующих функций отображения результатов:

– вывод деформированной схемы на фоне исходной;

– вывод деформированной схемы;

– вывод значений перемещений по заданному направлению в узлах расчетной схемы;

– цветовое отображение значений перемещений по заданному направлению в узлах расчетной схемы;

– отображение исходного состояния схемы;

– отображение на проекциях деформированной схемы на фоне исходной;

– вывод изополей перемещений для пластинчатых элементов;

– вывод изополей и изолиний перемещений для пластинчатых элементов;

– вывод изолиний перемещений для пластинчатых элементов;

– установка параметров цветовой шкалы;

– отображение приведенных узловых масс;

– формирование видеоклипов перемещений для статических и динамических загружений;

– анимация перемещений для статических и

После линейного расчета открываем в дереве проекта раздел Результаты, а в нем подраздел «Графический анализ». В открывшемся окне открываем инструментальную панель Деформации и нажимаем кнопку «Совместное отображение исходной и деформированной схемы». Рядом с исходной схемой появится картина деформированной схемы (без указания численных значений перемещений узлов).

Для получения численных значений перемещений необходимо нажать кнопку «Вывод значений перемещений в узлах» или в дереве проекта нажать кнопку Печать таблиц. Откроется окно, с помощью которого надо открыть таблицу перемещений в узлах сетки элементов. Затем переходим в раздел Поля напряжений и на инструментальной панели этого раздела выбираем вариант изображения картины напряженного состояния балки - стенки.

 

Кнопки Параметры вывода.

Для назначения правил формирования и оформления результатов используется кнопка Параметры вывода, после нажатия которой появляется диалоговое окно Состав выходных таблиц.

Из этого окна осуществляется доступ к следующим функциям назначения параметров:

• список узлов или элементов, для которых выводятся результаты;

• список загружений;

• параметры настройки генератора таблиц;

• выходные единицы измерения. Параметры настройки задаются в диалоговых окнах, вызов которых выполняется нажатием соответствующих кнопок.

В окне Параметры вывода, которое вызывается после нажатия одноименной кнопки, можно назначить количество строк на странице и ширину таблиц, точность вывода перемещений и усилий, выбрать тип таблицы, определить формат выходного файла, ориентацию страниц, размер шрифта и др.

Есть два типа таблиц. В таблицах первого типа (их опция помечена в окне пиктограммой) наименования силовых факторов или перемещений размещены в начале каждой строки, а в заглавиях столбцов помещены номера узлов или элементов. В таблицах второго типа (отмеченных пиктограммой) в заглавиях столбцов помещаются наименования силовых факторов или перемещений, а в строках - номера элементов и узлов.

Используя соответствующую маску вывода, можно настроить программу на печать только определенных видов силовых факторов или перемещений.

 

Назначение и основные возможности программного пакета MathCAD.

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов -MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design — системы автоматизированного проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Основные возможности

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций операторов для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

— Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

— Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

— Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте

— Выполнение вычислений в символьном режиме

— Выполнение операций с векторами и матрицами

— Символьное решение систем уравнений

— Аппроксимация кривых

— Выполнение подпрограмм

— Поиск корней многочленов и функций

— Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей

— Поиск собственных чисел и векторов

— Вычисления с единицами измерения

— Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

— С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.