Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вероятность и закон нормального распределения вероятностей
Вероятность (Р) – действительное число в диапазоне от 0 до1, приписываемое случайному событию, представляющее отношение количества благоприятных случаев (n) ко всему количеству возможных случаев (N) в данной совокупности случаев, т.е. P = n / N. При n = 0, P = n / N = 0 / N = 0; при n = N, P = n / N = N / N = 1, т.е. событие становится неслучайным, а погрешность становится систематической. При Р < 0,5 событие считают маловероятным, при Р ³ 0,5 событие считается вероятным. Чем больше N, тем больше вероятность и достоверность события. При N стремящемся к бесконечности, Р стремится к единице (закон больших чисел). В теории вероятностей известны несколько законов распределения вероятностей. В большинстве случаев погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения вероятностей – закону Гаусса (если говорить точнее, то имеет место нечто среднее между нормальным и равновероятностным законами). Уравнение закона Гаусса, определяющее плотность вероятности Y при совпадении оси симметрии кривой с осью ординат: где σ – теоретическая средняя квадратическая погрешность, e» 2,7183 – основание натуральных логарифмов, Δ – остаточная погрешность Δ = xi – mх, где xi – один из результатов, mх – средний арифметический результат или математическое ожидание случайной величины). Одной из количественных характеристик случайных величин является дисперсия, которая характеризует рассеяние случайных величин относительно среднего арифметического значения (центра группирования случайных величин – математического ожидания):
где N – общее количество случаев, xi – отдельный результат, mx – математическое ожидание. Из формулы видно, что D[x] имеет квадратическое значение, что неудобно (например, получается мм2). Поэтому применяют более удобную величину – теоретическую среднюю квадратическую погрешность: (здесь и далее, для обеспечения преемственности с курсом нормирования точности приняты те же обозначения; в метрологии σх = s). Закон Гаусса действует при достаточно большом количестве равновлияющих и незначительных по величине случайных погрешностей. Если учитывать только случайные погрешности в чистом виде, то закон Гаусса можно представить графически (рис.10) в виде теоретической кривой нормального распределения (кривой плотности распределения вероятностей)
y 34,136% 34,136% _ Точки перегиба кривой mx = X = Aср Теоретическая кривая
13,592% 13,592%
2,137% 2,137% 0,135% 0,135% x -σ +σ -2σ +2σ ±3σ = 6σ
Рис.10 Графическое изображение закона нормального распределения y – плотность вероятности P, частность, в нашем случае частота появления i-той составляющей случайной погрешности; xi – остаточная i-тая погрешность или погрешность отдельного i-того измерения, характеризующая отклонение случайной величины (результата измерения) от центра группирования (xi = Ai – Aср, где i = 1,2,…, n – порядковые номера измерений; Ai – результат i-того измерения; Aср – средний арифметический результат измерений, соответствующий центру группирования результатов (стремится к математическому ожиданию)). Теоретическая средняя квадратическая погрешность характеризует зону рассеяния – разброса случайных величин относительно центра группирования:
(в знаменателе n, если n ³ 25; n –1, если n < 25). Средняя вероятная погрешность γ = 0,675 * σ» 0,7 σ. Кривая Гаусса обладает свойством, что если площадь, заключенную между кривой и осью абсцисс принять за 100% (или равной 1), то площадь, заключенная между частью кривой и отрезком в пределах ± σ на оси абсцисс составит»68%, а между частью кривой и отрезком в пределах ± 2σ составит»95,456% от всей площади (т.е. доверительная вероятность 95,456% или 0,95456» 0,95). Распределение этих площадей соответствует распределению случайных погрешностей. При измерениях практически принимают Δlimи = ± σ и, которую называют предельной (наибольшей допустимой) случайной погрешностью измерения, а зону рассеяния погрешностей в пределах ± 2σ и называют полем рассеяния погрешностей измерений. Так как вся площадь составляет 100% (или равна 1), а площадь, соответствующая вероятности предельной случайной погрешности измерения 95,456%, то оставшаяся часть площади равна 4,544% (риск выхода погрешности за пределы ± 2σ и). Следовательно, с вероятностью очень близкой к 100% (или 1) можно утверждать, что случайные погрешности измерений, при достаточно большом количестве измерений (или составляющих случайной погрешности), не будут выходить за пределы ± 2σ и, т.е. будут считаться допустимыми. Но, так как возможен выход погрешности, как в плюс, так и в минус, то риск составляет 2,272%» 2,3%. Погрешности измерений, превышающие ± 2σ n, относят к грубым.
При изготовлении (обработке) изделий, в том числе деталей СИ, величину Δтlim = ± 3σ т называют предельной случайной погрешностью изготовления (технологической). Детали, имеющие погрешности за пределами ± 3σ т, представляют собой брак. Анализ кривой Гаусса показывает, что: - малые по величине погрешности встречаются значительно чаще, чем большие; - одинаковые по абсолютной величине погрешности, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто; - большинство результатов измерений группируются около середины поля рассеяния (т.е. имеют значения погрешностей близкие к нулю, но не равные ему); - с увеличением количества измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей данного ряда стремится к нулю (благодаря чему, увеличивая количество измерений одной величины можно уменьшать влияние случайных погрешностей на результаты измерений, практически исключая их); - наиболее достоверные результаты при многократных измерениях представляют собой средние арифметические из получаемых результатов (и наоборот); - погрешности, выходящие за пределы ± 2σ и, признаются грубыми и исключаются из результатов измерений. Для оценки степени уменьшения влияния случайной погрешности пользуются правилом , где N – количество измерений. Из этого правила следует, что если одну и ту же величину измерять 4 раза, то влияние случайной погрешности на результаты измерений уменьшатся в 2 раза (если принять за результат Аср), если измерить 9 раз, то уменьшится в 3 раза и т.д.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 206; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.156.80 (0.01 с.) |