Теорема о пределе сжатой переменной

Теорема. Пусть даны три последовательности , и , при-чем . Пусть последовательности и имеют один и тот же предел а: . Тогда последовательность так-же имеет предел а: .

Доказательство.

1. Возьмем любое .

2. По этому числу для последовательности найдется такой номер , что : . (3)

3. По этому жечислу для последовательности найдется номер , что n>N₂ будет выполняться неравенство:

. (4)

4. Обозначим через N наибольший номер из N₁ и N₂: .

5. Тогда при n>N будут выполняться одновременно два неравенства

и .

6. Подчеркнем левую часть первого неравенства и правую часть второго неравенства.

7. Используя подчеркнутые неравенства, а также неравенства, данные в условии теоремы, получаем при n>N. Отсюда или при n>N. Это означает, что [28].

Ч.т.д.

14.Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности к числу а

Огюстен Луи Коши – французский математик (1798 - 17857).

До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью кото-рого можно было бы узнать, сходится или нет данная последовательность.

Само определение предела последовательности содержит значение пре-дела, которое может быть неизвестным.

Необходимо иметь такой критерий для определения сходимости и рас-ходимости последовательности, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности.

Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последова-тельности дает как раз подобный критерий.

Определение. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такой номер , что для всех номеров удовлетворяющих неравенству и , справедливо неравенство:

. (5)

Определение. Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной последовательностью [29].

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность схо-дилась необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство необходимости.

1. Пусть последовательность сходится, т.е. . Требуется доказать, что эта последовательность удовлетворяет условию Коши.

2. Зададим произвольное ().

3. Тогда согласно определению предела последовательности существует такой номер элемента , что выполняется неравенство

.

4. Возьмем еще один номер элемента , тогда должно выполняться неравенство .

5. Сложим два неравенства п.3. и п.4.: .

6. Воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел (): или - это неравенство говорит о том, что последовательность удовлетворяет условию Коши [29].

Ч.т.д.