Дополнительные свойства действительных чисел

Рассмотрим далее свойства, которые выполняются .

1. Число является решением уравнения .

Доказательство

1) Прибавим к левой и правой частям уравнения число , получим .

2) Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, перепишем выражение .

3) На основании 4 свойства сложения действительных чисел можно написать .

4) На основании 3 свойства сложения действительных чисел выражение примет вид или .

5) Для существования решения нужно проверить, что число является решением уравнения.

а) Подставим в уравнение число .

б) Получим или , или .

в) Тогда или – решение уравнения .

ч. т. д.

Замечание. Число называется разностью чисел и и пишется .

2. Число является решением уравнения , если .

Доказательство

1) Домножим обе части уравнения на число , получим , или , или в соответствии с 1 и 2 свойствами умножения действительных чисел.

2) В соответствии с 4 и 3 свойствами умножения действительных чисел можно записать или .

3) Осуществим проверку:

а) Подставим число в уравнение .

б) Получим , или , или .

в) Затем или – решение уравнения .

ч. т. д.

Замечание. Число называется частным чисел и и обозначается или , .

3. Если , то .

Доказательство

1) Так как , то или на основании 3 свойства сравнения действительных чисел.

2) Прибавим к обеим частям неравенства число , получим .

3) Используя переместительный, сочетательный законы, 4 и 3 свойства сложения действительных чисел, можно записать , или , или .

ч. т. д.

Замечание. а) Если , то ;

б) Если , то .

4. Если и , то .

Доказательство

1) Пусть и .

2) Прибавим к обеим частям первого неравенства число , а к обеим частям второго неравенства число ; с учетом свойства сравнения 6(б): и .

3) С учетом переместительного свойства сложения: и .

4) С учетом свойства сравнения 6(а): (, то ).

ч. т. д.

5. Если и , то .

Доказательство

1) Так как , то (с учетом дополнительного свойства 3) или (в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).

2) Так как , то (в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).

3) Рассмотрим два неравенства и .

4) С учетом дополнительного свойства 4 можно записать или при использовании 3 или 2 свойств сравнения действительных чисел.

ч. т. д.

6. .

7. Если , то .

8. .

9. Если и , то .

Доказательство

1) Так как , то с учетом замечания к дополнительному свойству 3.

2) Известно, что если и , то на основании 2 свойства сравнения действительных чисел.

3) Тогда, если и , то , или , или (с учетом замечания (б) дополнительного свойства 3).

ч. т. д.

10. Если и , то .

Доказательство

1) Так как , то на основании замечания (б) к дополнительному свойству 3.

2) В силу дополнительного свойства 9, если и , то или .

ч. т. д.

11. Если , то .

Доказательство

1) Если , то , тогда в силу дополнительного свойства 10 или .

2) Если , то , тогда или в силу свойства сравнения 2.

ч.т.д.

 

Модуль

Тема №1