Подання чисел в різних системах числення

Подання чисел в різних системах числення

Десятк. число	В сист. числ. з основою	Десятк. число	В сист. числ. з основою
			A				1A
			B				1B
			C				1C
			D				1D
			E				1E
			F				1F

Частіше за все у цифровій техніці приходиться переводити десяткові числа у двійкові та навпаки, це можна зробити за допомогою універсального алгоритму, що використовується окремо для цілої та дробової частини. Переведення цілої частини десяткового числа у двійкову систему полягає у записі в оберненому порядку залишків (0 або 1), що одержуються під час ділення початкового числа і кожного наступного дільника на два. Дробова частина отримується з цілих частин (0 або 1) з її послідовним множенням на два. Таке множення продовжується доти, доки дробова частина перетвориться на нуль або отримується потрібна кількість знаків після розділової крапки. Це ілюструє приклад, наведений нижче.

Використовуючи вираз (1), можна подати результат пер у вигляді

(11001.1)₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 = 16 + 8 + 1 + 0.5 = 25.5

Суму цілих двійкових чисел з урахуванням знаків можна звести до суми їх додаткових або зворотних кодів. Зворотний код для від'ємного числа отримується прямою заміною 0 на 1 та 1 на 0 в усіх розрядах. Щоб подати число в додатковому коді, достатньо до зворотного коду додати 1.

Для алгебраїчної суми можна використати і зворотний код. Наприклад:

Віднімання у додатковому та зворотному кодах здійснюються додаванням методом заміни знаку (відповідно і коду) від'ємника.

Двійково - десяткові коди

Для подання інформації у десятковій системі числення і виконання операцій над десятковими числами, в цифрових пристроях використовується двійково-десяткове кодування, при якому кожна десяткова цифра подається групою двійкових цифр. Кількість бітів у таких групах чітко фіксується (їх повинно бути не менше чотирьох) із збереженням всіх лівих нулів розрядів.

Операції над десятковими цифрами виконуються за допомогою доповненої двійкової арифметики. Так, при додаванні двох чисел в коді прямого заміщення 8421 необхідно добавити корегуючий елемент 6₁₀= 0110₂ до кожної тетради, в якій в процесі додавання отримана цифра > 9 або виникло перенесення в наступну тетраду. Наприклад:

При відніманні чисел в коді 8421 корекція зводиться до віднімання 6₁₀= 0110₂ з кожної тетради різниці, яка потребує займу. Наприклад:

Стандартні форми

Будь-яку логічну функцію F(Х₁,...., Х_n) можна подати в досконалій диз'юнктивній нормальній формі (ДДНФ) або в досконалій кон'юнктивній нормальній формі (ДКНФ). Подання логічної функції проілюструємо згідно заданої таблиці відповідності:

 

аі	F(Аi)
Х1	Х2	Х3	Х4

Для подання логічної функції в ДДНФ достатньо використовувати тільки ті набори змінних А_i, на яких F(А_i)=1. Для подання в ДКНФ використовують ті набори змінних А_i, на яких F(А_i)=0. Через це ДДНФ називають формою подання по одиницям, а ДКНФ - по нулям.

Y=X1X2X2+X1X2X3+ X1X2X3+ X1X2X3+ X1X2X3.

ДКНФ: Y=(Х₁+Х₂+ Х₃)*(Х₁+ Х₂+Х₃)*(Х₁+Х₂+Х₃);

ДДНФ:

Подання чисел в різних системах числення

Десятк. число	В сист. числ. з основою	Десятк. число	В сист. числ. з основою
			A				1A
			B				1B
			C				1C
			D				1D
			E				1E
			F				1F

Частіше за все у цифровій техніці приходиться переводити десяткові числа у двійкові та навпаки, це можна зробити за допомогою універсального алгоритму, що використовується окремо для цілої та дробової частини. Переведення цілої частини десяткового числа у двійкову систему полягає у записі в оберненому порядку залишків (0 або 1), що одержуються під час ділення початкового числа і кожного наступного дільника на два. Дробова частина отримується з цілих частин (0 або 1) з її послідовним множенням на два. Таке множення продовжується доти, доки дробова частина перетвориться на нуль або отримується потрібна кількість знаків після розділової крапки. Це ілюструє приклад, наведений нижче.

Використовуючи вираз (1), можна подати результат пер у вигляді

(11001.1)₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 = 16 + 8 + 1 + 0.5 = 25.5

Суму цілих двійкових чисел з урахуванням знаків можна звести до суми їх додаткових або зворотних кодів. Зворотний код для від'ємного числа отримується прямою заміною 0 на 1 та 1 на 0 в усіх розрядах. Щоб подати число в додатковому коді, достатньо до зворотного коду додати 1.

Для алгебраїчної суми можна використати і зворотний код. Наприклад:

Віднімання у додатковому та зворотному кодах здійснюються додаванням методом заміни знаку (відповідно і коду) від'ємника.

Двійково - десяткові коди

Для подання інформації у десятковій системі числення і виконання операцій над десятковими числами, в цифрових пристроях використовується двійково-десяткове кодування, при якому кожна десяткова цифра подається групою двійкових цифр. Кількість бітів у таких групах чітко фіксується (їх повинно бути не менше чотирьох) із збереженням всіх лівих нулів розрядів.

Операції над десятковими цифрами виконуються за допомогою доповненої двійкової арифметики. Так, при додаванні двох чисел в коді прямого заміщення 8421 необхідно добавити корегуючий елемент 6₁₀= 0110₂ до кожної тетради, в якій в процесі додавання отримана цифра > 9 або виникло перенесення в наступну тетраду. Наприклад:

При відніманні чисел в коді 8421 корекція зводиться до віднімання 6₁₀= 0110₂ з кожної тетради різниці, яка потребує займу. Наприклад: