Расчет статически неопределимой арки

Задание. Для двухшарнирной арки или арки с затяжкой (рис. 7) с выбранными по шифру из табл. 7 размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

 

 

 

Рис.7

Таблица 7

1-ая цифра шифра	l, м	α	2-ая цифра шифра	f/l	q1 кН/м	q2 кН/м	Последняя цифра шифра	Очертание оси	№ схемы
		0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70		0,20 0,30 0,16 0,25 0,45 0,32 0,15 0,18 0,22 0.14				окружность парабола окружность парабола окружность парабола окружность парабола окружность парабола

Методические указания

При вычерчивании оси арки необходимо руководствоваться указаниями к задаче 1. В целях сокращения объема вычислительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда и два опорных шарнира.

Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и грузовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается невозможным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Таким образом интегрирование приходится заменять суммированием по участкам со средними значениями величин, входящих в формулу Мора:

;

Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизвестное обычно принимают усилие в затяжке.

Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры М_р и Q₀ в основной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры M и Q для балки на двух опорах.

Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону: d =d_ccosφ, где d_c - высота сечения посредине.

В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:

а) при очертании оси по параболе

№ точки	x	l-x	x(l-x)		l-2x		φ	sin φ	cos φ

 

б) при очертании оси по окружности

№ точки	x					l-2x	sinφ= l-2x/2R	y+R-f	cosφ =(y+R-f)/R

продолжение табл.

№ точки				Mp	Mp	-yX1	M=Mp- yX1 кНм
Сумма	EI0δ1,1	Сумма	EI0ΔIP

Продолжение табл.

№ точки	проверка	Q0 кН	Поперечная сила	Продольная сила
My(Δx)/cos^4φ	Q0 cosφ	X1 sinφ	Q= Q0 cos- X1 sinφ	Q0 sinφ	X1 cosφ	N=-(Q0 sinφ+ +X1 cosφ)

 

Если делить ось арки на участки с равными величинами их проекций Δx, то ΔS=ΔX/cosφ и вынося за знак суммы величину EIo, получим в каждом слагаемом множитель IoΔx/(Icosφ). Отношение Io/I=l/cos³φ.

Таким образом, в продолжение расчетной таблицы войдут величины Δx/cos⁴φ для каждого из выбранных сечений.

Если неизвестная горизонтальная реакция в одной из опор направлена внутрь пролета, то сумма величин, входящих в графу 15, даст свободный член канонического уравнения со знаком минус. Сумма величин графы 13 дает величину δ_1,1.

При проверке сумма величин, подсчитанных в графе 18, для двухшарнирной арки должна быть равна нулю, а для арки с затяжкой величине .

Для арки с затяжкой, где неизвестным является усилие в затяжке, необходимо еще учесть деформацию затяжки, работающей на растяжение, т.е. к сумме величин графы 13 надо добавить величину , где E₃ и F₃ модуль упругости и площадь сечения затяжки. В расчете следует принять, что . Итак, для арки с затяжкой коэффициент при Х₁ будет: .

Определив неизвестное по формуле Х₁=-Δip/δ_1,1, можно подсчитать ординаты окончательной эпюры М, а так же эпюр Q и N, что тоже удобнее проводить в табличной форме.