Определение перемещений в статически определимой раме.

Задание. Для рамы (рис. 4) с выбранными по шифру из табл. 4 размерами и нагрузкой требуется определить горизонтальное перемещение или угол поворота одного из сечений.

Рис.4

Методические указания

Все перемещения следует определять по формуле Мора с использованием метода Верещагина. Построение эпюр моментов (грузовых и единичных) следует сопроводить расчетами. Сами эпюры надо строить со стороны растянутых волокон.

 

 

Таблица 4

первая цифра шифра	l, м	q, кН/м	вторая цифра шифра	P кН	h, м	№ сечения	Последняя цифра шифра (№ схемы)	Вид перемещения	I2:I1
	9,0 9,5 8,0 8,5 5,0 5,5 6,0 7,5 6,2 6,5	1,0 1,2 1,5 1,8 2,0 2,4 3,0 2,5 3,2 3,5			6,0 5,5 5,0 9,5 9,0 8,5 8,0 6,5 7,0			Угол поворота “ “ “ “ Гориз. перемещ “ “ “ “	1:2 2:1 1:3 3:1 2:3 3:2 3:5 5:3 3:4 4:3

 

Сложные эпюры для “умножения” их на единичные рекомендуется делить, на части с тем, чтобы обеспечить определение их площадей и положений центров тяжести. Можно определять перемещения отдельно от силы Р и нагрузки q с последующим сложением результатов.

Все эпюры должны быть четкими, иначе трудно подсчитывать их площади и положения центров тяжести отдельных площадей.

Кроме того, поскольку в данной задаче жесткости отдельных стержней различны и заданы только их соотношения, искомые перемещения должны быть выражены через EI₁ или EI₂.

Особое внимание здесь следует обратить на построение эпюр изгибающих моментов, поскольку в курсе сопротивления материалов обычно ограничиваются построениями эпюр в сравнительно простых балках. Прежде чем строить любую эпюру (от нагрузки или единичную), как известно, необходимо определить опорные реакции. При этом надо не забывать о возможности возникновения горизонтальных составляющих опорных реакций в соответствующей опоре или в обеих (когда задана трехшарнирная рама).

Если требуется определить угол поворота в сечении 1 для схемы 3, то речь идет о взаимном повороте примыкающих к шарниру сечений.

При решении данной задачи полезно и весьма эффективно применить матричную форму расчета.

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Задание. Для рамы (рис.5) с выбранными по шифру из табл. 5 размерами и нагрузкой требуется:

а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

б) проверить правильность построенных эпюр.

Рис. 5

Методические указания

Для упрощения расчета рекомендуется принять симметричную основную систему. Можно применить и разложение нагрузки и неизвестных на симметричные и кососимметричные.

При построении единичных и грузовых эпюр необходимо приводить определение опорных реакций. Эпюры должны быть построены со стороны растянутых волокон. При “перемножении” эпюр следует пользоваться способом Верещагина.

После определения коэффициентов канонических уравнений рекомендуется произвести их проверку путем подсчета интеграла (по Верещагину)

∑∫M_s² dS/EI, где М_s=M₁+M₂+…+M_n.

Результат должен совпадать с суммой

δ_1,1+ δ_2,2+ δ_3,3+…+ δ_n,n+2(δ_1,2+ δ_1,3+ δ_(n-1),n).

Проверка правильности определения свободных членов (грузовых перемещений) проводится по формуле

∑∫M_S²M_P dS/EI =Δ_1,P+ Δ_2,P+…+ Δn,p

Обычно после определения неизвестных строят эпюры моментов от найденных значений Xi, умножая ординаты каждой единичной эпюры на соответствующее значение неизвестного. Тогда момент в любой точке будет определяться формулой

М=Mp+M₁+M₂+…+M_n.

Окончательно эпюру моментов необходимо проверить путем “умножения” ее на одну из единичных эпюр или на суммарную эпюру Ms. Результат умножения должен быть равен нулю (или близким к нулю).

Построение эпюры поперечных сил (по эпюре моментов) необходимо сопровождать расчетами. При этом особое внимание надо обратить на правило знаков. При возрастании момента поперечная сила положительна. При построении эпюры М со стороны растянутых волокон возрастание момента характеризуется наклоном вниз (слева направо). На участках с, где эпюра М криволинейна (под равномерно распределенной нагрузкой), определение ординат эпюры Q удобнее производить по формуле

Q_х=Q⁰_х+(M_пр – М_лев)/l,

где Q⁰_х – “балочная” поперечная сила (найденная для данного участка как для простой балки на двух опорах); M_пр – момент на правом конце участка (положительный, если он растягивает нижние волокна); М_лев - момент на левом конце участка (положительный при растяжении нижних волокон); l – длина участка.

Эпюра N строится по эпюре поперечных сил путем вырезания узлов (как принято при расчете ферм), начиная с узла, в котором количество неизвестных продольных сил не превышает двух. При вырезании каждого узла необходимо учитывать, что положительная поперечная сила вращает узел по ходу часовой стрелки, а отрицательная – против.

После построения всех эпюр необходимо провести полную проверку, рассмотрев равновесие рамы целиком.

 

 

Таблица 5

1-ая цифра шифра	Р1	Р2	Р3	l, м	2-ая цифра шифра	q1	q2	q3	h, м	Последняя цифра шифра (№ схемы)	I1:I2
кН	кН/м
											1:2 2:3 1:3 1:3 2:3 1:3 2:1 3:2 3:4 1:2

 

Расчет неразрезной балки

Задание. Для неразрезной балки (рис. 6) с выбранными по шифру из табл. 6 размерами и нагрузкой требуется:

а) найти с помощью уравнений трех моментов опорные моменты и построить эпюры М и Q от постоянной нагрузки (указанной на чертеже);

б) найти моментные фокусные отношения и построить эпюры от последовательного загружения каждого пролета (и консолей) временной нагрузкой;

в) построить объемлющую (огибающую) эпюру моментов для второго пролета (считая слева).

 

Таблица 6

1-ая цифра шифра

l, м

h, м

q1 кН/м

Временная нагрузка qвр кН/м

2-ая цифра шифра

l2 м

Р1 кН

С м

q2 кН//м

Последняя цифра шифра № схемы

l3 м

P2 кН

7,5

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1.7 1,1 1,3 1,5 1,9

1,8 1,9 2,0 2,2 2,1 2,3 1,7 2,4 2,5 1,6

7,5

1,1 1,3 0,8 1,7 1,8 1,2 0,9 1,4 1,0 1,5

 

Рис.6

 

Методические указания

При решении задачи под заданной балкой необходимо изобразить основную систему и эпюры моментов от нагрузки. Подставляя известные величины в уравнения трех моментов, надо обратить внимание на знак моментов на крайних опорах при наличии загруженных консолей.

После решения уравнений трех моментов полученные значения неизвестных надо обязательно подставить во все уравнения и убедиться в правильности решения.

При построении эпюры моментов ординаты следует откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные – вниз. Сначала надо отложить значения опорных моментов и соединить концы полученных ординат пунктирной линией. От полученной линии опорных моментов откладываются эпюры моментов, построенные для каждого пролета в основной системе.

Для второго пролета, для которого требуется строить объемлющую эпюру моментов, нужно определить ординаты окончательной эпюры в точках с интервалом 0,25 l. Эпюра поперечных сил строится по эпюре моментов так же, как и в задаче 7.

Для построения эпюр моментов от попролетного загружения балки временной нагрузкой в пролете можно произвести по формулам:

M_n-1= -6(A_n^фК`<sub>n</sub> - B<sub>n</sub><sup>ф</sup>)/(K<sub>n</sub>K`_n - 1)l_n

M_n= -6(B_n^ф К_n - A_n^ф)/(K_nK`_n - 1)l_n

где A_n^ф ,B_n^ф – фиктивные опорные реакции, равные (при равномерно распределенной нагрузке ) A_n^ф= B_n^ф=ql³_n/24 или же путем решения уравнения трех моментов.

Эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует строить одну под другой в следующем порядке: а) эпюра от загружения левой консоли (если она есть); б) эпюра от загружения первого пролета и т.д.

Все эпюры моментов строятся в том же масштабе, что и эпюра моментов от постоянной нагрузки и должны иметь величины моментов на каждой опоре, а для второго пролета – еще и в точках с интервалом 0,25 l₂.

Ординаты объемлющей эпюры рекомендуется определять в табличной форме.

Таблица подсчета ординат объемлющей эпюры (показан пример записи)

Сечение	Момент от постоянной нагрузки	Моменты от загружения временной нагрузкой кНм	Ммакс кНм	Ммин кНм
левой консоли	1-ого пролета	2-го пролета	3-го пролета	Правой консоли
… … i k …	… … …	... … -6 …	… … -6 …	… … -10 …	… … -10 -12 …	… … …	… … -9 …	… … -4 -46 …

 

При подсчете максимального изгибающего момента для какого-либо сечения берется момент от постоянной нагрузки и все положительные моменты от загружения отдельных пролетов временной нагрузки; для минимального момента берется момент от постоянной нагрузки и все отрицательные значения моментов от временной нагрузки. Для примера в указанной таблице приведены подсчеты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и k. Соединяя последовательно ординаты М_макс, получим объемлющую эпюру М_макс. Аналогично получим и эпюру М_мин. Обе объемлющие эпюры строятся на одной базе.