Расчет сложной статически определимой плоской фермы

Общие методические указания

К изучению строительной механики следует приступать после усвоения теоретической механики и сопротивления материалов. Прежде, чем приступить к самостоятельному решению задач, необходимо проработать теорию и разобрать решение задач, используя рекомендуемую литературу. Глубокое усвоение изучаемой дисциплины достигается только в процессе самостоятельной работы.

Студенты-заочники выполняют две контрольные работы – одну в 7-м семестре (задачи № 1, 2,5) и одну в 8-м семестре (задачи № 9, 11, 10).

Исходные данные для решения задач выбираются студентом из таблиц в соответствии с его личным шифром. Шифром считаются три последние цифры номера зачетной книжки.

 

1. Расчет трехшарнирной арки или трехшарнирной рамы

Задание. Для сплошной трехшарнирной арки или рамы (рис.1) требуется:

а) определить аналитически моменты, поперечные и нормальные силы в сечениях К₁ и К₂ от действия постоянной нагрузки;

б) построить линии влияния М, Q и N для сечения К₂ и по ним найти значения М, Q и N от той же постоянной нагрузки.

Исходные данные, согласно шифру, выбираются по табл. 1.

 

 

 

 

 

Рис. 1

первая цифра шифра

l,м

α

β1

вторая цифра шифра

β2

q1 кН/м

\ q2 кН/м

Последняя цифра шифра

Схема по рис.1

Очертание оси

f/l

P кН

0,2 0,5 0,3 0,6 0,4 0,7 0,8 0,25 0,35 0,45

0,2 0,3 0,22 0,25 0,15 0,4 0,35 0,12 0,33 0,45

0,65 0,68 0,7 0,72 0,8 0,84 0,86 0,75 0,85 0,9

а а б в г а а б в г

Параб Окруж Рама “ “ Параб Окруж Рама “ “

0,34 0,35 0,39 0,4 0,32 0,36 0,38 0,33 0,3 0,31

Таблица 1

Методические указания

Схему арки надо вычертить, определив по уравнению ее оси достаточное число точек (не менее пяти, включая замковый шарнир С) и проведя через них плавную кривую. На схему надо нанести все заданные размеры и нагрузку. Для точек К₁ и К₂ надо вычислить координаты и, кроме того, значения синусов и косинусов углов наклона касательных.

Ординаты точек оси арки и углы наклона касательных определяются по следующим уравнениям:

а) при очертании оси по параболе

б) при очертании оси по окружности

где

Для трехшарнирных рам ординаты и необходимые углы наклона определяются непосредственно из чертежа. Следует помнить, что для правой половины арки (и рамы) угол наклона касательной отрицателен.

Вычисления значений опорных реакций, моментов, поперечных и продольных сил в заданных точках надо иллюстрировать необходимыми формулами.

Для построения линий влияния М, Q и N надо сначала построить линию влияния распора и подсчитать значение ее характерной ординаты. На окончательных линиях влияния должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат, определение которых должно быть приведено в расчете. Линии влияния надо строить под схемой арки (рамы) в том же линейном масштабе.

 

1. Расчет простой плоской статически определимой фермы

Задание. Для фермы (рис. 2) с выбранными по шифру из табл. 2 размерами и нагрузкой требуется:

а) определить (аналитически) усилия в стержнях заданной панели, включая правую стойку (4 стержня);

б) построить линии влияния усилий в тех же стержнях;

в) по линиям влияния подсчитать значения усилий от заданной нагрузки и сравнить их со значениями, полученными аналитически;

г) загрузить одну из линий влияния (по выбору студентов) нагрузкой от электровоза ВЛ-22М или тепловоза ТЭ-1 и найти расчетное усилие в стержне (примечание: если последняя цифра шифра нечетная, то схему нагрузки брать от электровоза, а если четная или нуль – от тепловоза):

Методические указания

Усилие в каждом стержне следует определять непосредственно через нагрузку и опорные реакции, а не одно через другое, т.е. для каждого усилия надо найти свой способ из трех известных (моментной точки; проекций; вырезания узлов).

При определении усилий необходимо показывать используемые сечения, приводить соответствующие уравнения, а все величины, входящие в них, должны быть указаны на чертеже. Необходимые геометрические характеристики и размеры надо определять аналитически, а не брать по масштабу.

Таблица 2

первая цифра шифра	l м	Р1 кН	вторая цифра шифра	№ панели (считая слева)	Последняя цифра шифра (№ схемы)	h м
		1,8 1,5 1,2 1,0 1,9 2,0 1,1 1,3 1,4 1,6				5,5 3,5 4,2 4,6 4,5 4,4

 

Построение линий влияния должно сопровождаться необходимыми расчетными формулами. Линии влияния строятся под схемой фермы; на них должны быть проставлены числовые значения ординат под всеми узлами. Найденные значения усилий по линиям влияния надо сравнить с результатами аналитического определения.

 

Методические указания

Постоянная и временная нагрузки для схем 5-9 приложены в узлах нижнего пояса, а для остальных схем – в узлах верхнего пояса.

Панелью фермы считается расстояние между узлами основной решетки, следовательно, должно быть определено восемь усилий (включая правую стойку).

Усилие в каждом стержне следует определять непосредственно через нагрузку и опорные реакции, а не через какое-либо другое, уже найденное усилие. Этого не удается сделать лишь в некоторых случаях, например для средних стоек в схемах 1, 5.

Особенность расчета шпренгельных ферм является то, что для некоторых стержней нельзя провести удачного сечения (пересекающего не более трех стержней). В связи с этим появляется необходимость переходить к схеме взаимодействия шпренгеля с основной решеткой. Для успешного расчленения заданной фермы на основную и шпренгель необходимо твердо усвоить типы шпренгелей.

Следует иметь в виду, что в большинстве случаев (для всех заданных ферм) усилия в элементах, входящих и в шпренгель, и в основную решетку, удается определить, рассматривая непосредственно заданную ферму. В связи с этим рекомендуется сначала рассмотреть заданную схему и найти все усилия, для которых возможно провести удачное сечение. Остальные усилия определяются из рассмотрения только шпренгеля или только основной решетки. При этом в работе обязательно нужно приводить схемы шпренгеля и основной решетки отдельно с указанием узловой нагрузки, полученной в результате передачи местной нагрузки со шпренгеля в узлы основной решетки.

Производя определение усилий, надо приводить все схемы, разрезы и указывать все величины, входящие в расчетные формулы. Геометрические характеристики (плечи, углы и пр.) должны быть определены аналитически, а не по масштабу.

Таблица 3

Первая цифра шифра	d,м	Постоянная нагрузка Р, кН	Вторая цифра шифра	№ панели (считая слева)	h,м	Последняя цифра шифра	Временная нагрузка Pвр кН
	3,0 3,5 4,0 4,5 3,6 4,2 2,7 3,2 3,3 3,4	12,0 12,5 13,0 13,5 11,5 11,0 20,0 19,0 18,0 17,5			3,2 4,0 3,8 3,3 3,6 3,0 4,2 4,1 3,7 3,5		18,5 17,5 22,5

Рис.3

 

При построении линий влияния схемы фермы (заданная, основная и шпренгель) должны быть вычерчены заново, без нагрузки. Должны быть приведены все сечения и расчеты, а на полученных линиях влияния должны быть проставлены числовые значения ординат под каждым узлом фермы.

Для определения максимального усилия от временной нагрузки надо загрузить все узлы, которым соответствуют положительные значения ординат линии влияния. Для определения минимальных усилий - узлы, соответствующие отрицательным ординатам линии влияния.

Максимальное расчетное усилие определяется суммой усилий от постоянной нагрузки и максимального усилия от временной нагрузки. Минимальное расчетное усилие равно сумме усилия от постоянной нагрузки и минимального усилия от временной нагрузки. Максимальные и минимальные расчетные усилия должны быть определены для всех восьми стержней и сведены в таблицу.

Методические указания

Все перемещения следует определять по формуле Мора с использованием метода Верещагина. Построение эпюр моментов (грузовых и единичных) следует сопроводить расчетами. Сами эпюры надо строить со стороны растянутых волокон.

 

 

Таблица 4

первая цифра шифра	l, м	q, кН/м	вторая цифра шифра	P кН	h, м	№ сечения	Последняя цифра шифра (№ схемы)	Вид перемещения	I2:I1
	9,0 9,5 8,0 8,5 5,0 5,5 6,0 7,5 6,2 6,5	1,0 1,2 1,5 1,8 2,0 2,4 3,0 2,5 3,2 3,5			6,0 5,5 5,0 9,5 9,0 8,5 8,0 6,5 7,0			Угол поворота “ “ “ “ Гориз. перемещ “ “ “ “	1:2 2:1 1:3 3:1 2:3 3:2 3:5 5:3 3:4 4:3

 

Сложные эпюры для “умножения” их на единичные рекомендуется делить, на части с тем, чтобы обеспечить определение их площадей и положений центров тяжести. Можно определять перемещения отдельно от силы Р и нагрузки q с последующим сложением результатов.

Все эпюры должны быть четкими, иначе трудно подсчитывать их площади и положения центров тяжести отдельных площадей.

Кроме того, поскольку в данной задаче жесткости отдельных стержней различны и заданы только их соотношения, искомые перемещения должны быть выражены через EI₁ или EI₂.

Особое внимание здесь следует обратить на построение эпюр изгибающих моментов, поскольку в курсе сопротивления материалов обычно ограничиваются построениями эпюр в сравнительно простых балках. Прежде чем строить любую эпюру (от нагрузки или единичную), как известно, необходимо определить опорные реакции. При этом надо не забывать о возможности возникновения горизонтальных составляющих опорных реакций в соответствующей опоре или в обеих (когда задана трехшарнирная рама).

Если требуется определить угол поворота в сечении 1 для схемы 3, то речь идет о взаимном повороте примыкающих к шарниру сечений.

При решении данной задачи полезно и весьма эффективно применить матричную форму расчета.

Методические указания

Для упрощения расчета рекомендуется принять симметричную основную систему. Можно применить и разложение нагрузки и неизвестных на симметричные и кососимметричные.

При построении единичных и грузовых эпюр необходимо приводить определение опорных реакций. Эпюры должны быть построены со стороны растянутых волокон. При “перемножении” эпюр следует пользоваться способом Верещагина.

После определения коэффициентов канонических уравнений рекомендуется произвести их проверку путем подсчета интеграла (по Верещагину)

∑∫M_s² dS/EI, где М_s=M₁+M₂+…+M_n.

Результат должен совпадать с суммой

δ_1,1+ δ_2,2+ δ_3,3+…+ δ_n,n+2(δ_1,2+ δ_1,3+ δ_(n-1),n).

Проверка правильности определения свободных членов (грузовых перемещений) проводится по формуле

∑∫M_S²M_P dS/EI =Δ_1,P+ Δ_2,P+…+ Δn,p

Обычно после определения неизвестных строят эпюры моментов от найденных значений Xi, умножая ординаты каждой единичной эпюры на соответствующее значение неизвестного. Тогда момент в любой точке будет определяться формулой

М=Mp+M₁+M₂+…+M_n.

Окончательно эпюру моментов необходимо проверить путем “умножения” ее на одну из единичных эпюр или на суммарную эпюру Ms. Результат умножения должен быть равен нулю (или близким к нулю).

Построение эпюры поперечных сил (по эпюре моментов) необходимо сопровождать расчетами. При этом особое внимание надо обратить на правило знаков. При возрастании момента поперечная сила положительна. При построении эпюры М со стороны растянутых волокон возрастание момента характеризуется наклоном вниз (слева направо). На участках с, где эпюра М криволинейна (под равномерно распределенной нагрузкой), определение ординат эпюры Q удобнее производить по формуле

Q_х=Q⁰_х+(M_пр – М_лев)/l,

где Q⁰_х – “балочная” поперечная сила (найденная для данного участка как для простой балки на двух опорах); M_пр – момент на правом конце участка (положительный, если он растягивает нижние волокна); М_лев - момент на левом конце участка (положительный при растяжении нижних волокон); l – длина участка.

Эпюра N строится по эпюре поперечных сил путем вырезания узлов (как принято при расчете ферм), начиная с узла, в котором количество неизвестных продольных сил не превышает двух. При вырезании каждого узла необходимо учитывать, что положительная поперечная сила вращает узел по ходу часовой стрелки, а отрицательная – против.

После построения всех эпюр необходимо провести полную проверку, рассмотрев равновесие рамы целиком.

 

 

Таблица 5

1-ая цифра шифра	Р1	Р2	Р3	l, м	2-ая цифра шифра	q1	q2	q3	h, м	Последняя цифра шифра (№ схемы)	I1:I2
кН	кН/м
											1:2 2:3 1:3 1:3 2:3 1:3 2:1 3:2 3:4 1:2

 

Расчет неразрезной балки

Задание. Для неразрезной балки (рис. 6) с выбранными по шифру из табл. 6 размерами и нагрузкой требуется:

а) найти с помощью уравнений трех моментов опорные моменты и построить эпюры М и Q от постоянной нагрузки (указанной на чертеже);

б) найти моментные фокусные отношения и построить эпюры от последовательного загружения каждого пролета (и консолей) временной нагрузкой;

в) построить объемлющую (огибающую) эпюру моментов для второго пролета (считая слева).

 

Таблица 6

1-ая цифра шифра

l, м

h, м

q1 кН/м

Временная нагрузка qвр кН/м

2-ая цифра шифра

l2 м

Р1 кН

С м

q2 кН//м

Последняя цифра шифра № схемы

l3 м

P2 кН

7,5

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1.7 1,1 1,3 1,5 1,9

1,8 1,9 2,0 2,2 2,1 2,3 1,7 2,4 2,5 1,6

7,5

1,1 1,3 0,8 1,7 1,8 1,2 0,9 1,4 1,0 1,5

 

Рис.6

 

Методические указания

При решении задачи под заданной балкой необходимо изобразить основную систему и эпюры моментов от нагрузки. Подставляя известные величины в уравнения трех моментов, надо обратить внимание на знак моментов на крайних опорах при наличии загруженных консолей.

После решения уравнений трех моментов полученные значения неизвестных надо обязательно подставить во все уравнения и убедиться в правильности решения.

При построении эпюры моментов ординаты следует откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные – вниз. Сначала надо отложить значения опорных моментов и соединить концы полученных ординат пунктирной линией. От полученной линии опорных моментов откладываются эпюры моментов, построенные для каждого пролета в основной системе.

Для второго пролета, для которого требуется строить объемлющую эпюру моментов, нужно определить ординаты окончательной эпюры в точках с интервалом 0,25 l. Эпюра поперечных сил строится по эпюре моментов так же, как и в задаче 7.

Для построения эпюр моментов от попролетного загружения балки временной нагрузкой в пролете можно произвести по формулам:

M_n-1= -6(A_n^фК`<sub>n</sub> - B<sub>n</sub><sup>ф</sup>)/(K<sub>n</sub>K`_n - 1)l_n

M_n= -6(B_n^ф К_n - A_n^ф)/(K_nK`_n - 1)l_n

где A_n^ф ,B_n^ф – фиктивные опорные реакции, равные (при равномерно распределенной нагрузке ) A_n^ф= B_n^ф=ql³_n/24 или же путем решения уравнения трех моментов.

Эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки следует строить одну под другой в следующем порядке: а) эпюра от загружения левой консоли (если она есть); б) эпюра от загружения первого пролета и т.д.

Все эпюры моментов строятся в том же масштабе, что и эпюра моментов от постоянной нагрузки и должны иметь величины моментов на каждой опоре, а для второго пролета – еще и в точках с интервалом 0,25 l₂.

Ординаты объемлющей эпюры рекомендуется определять в табличной форме.

Таблица подсчета ординат объемлющей эпюры (показан пример записи)

Сечение	Момент от постоянной нагрузки	Моменты от загружения временной нагрузкой кНм	Ммакс кНм	Ммин кНм
левой консоли	1-ого пролета	2-го пролета	3-го пролета	Правой консоли
… … i k …	… … …	... … -6 …	… … -6 …	… … -10 …	… … -10 -12 …	… … …	… … -9 …	… … -4 -46 …

 

При подсчете максимального изгибающего момента для какого-либо сечения берется момент от постоянной нагрузки и все положительные моменты от загружения отдельных пролетов временной нагрузки; для минимального момента берется момент от постоянной нагрузки и все отрицательные значения моментов от временной нагрузки. Для примера в указанной таблице приведены подсчеты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и k. Соединяя последовательно ординаты М_макс, получим объемлющую эпюру М_макс. Аналогично получим и эпюру М_мин. Обе объемлющие эпюры строятся на одной базе.

 

Методические указания

При вычерчивании оси арки необходимо руководствоваться указаниями к задаче 1. В целях сокращения объема вычислительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда и два опорных шарнира.

Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и грузовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается невозможным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Таким образом интегрирование приходится заменять суммированием по участкам со средними значениями величин, входящих в формулу Мора:

;

Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизвестное обычно принимают усилие в затяжке.

Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры М_р и Q₀ в основной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры M и Q для балки на двух опорах.

Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону: d =d_ccosφ, где d_c - высота сечения посредине.

В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:

а) при очертании оси по параболе

№ точки	x	l-x	x(l-x)		l-2x		φ	sin φ	cos φ

 

б) при очертании оси по окружности

№ точки	x					l-2x	sinφ= l-2x/2R	y+R-f	cosφ =(y+R-f)/R

продолжение табл.

№ точки				Mp	Mp	-yX1	M=Mp- yX1 кНм
Сумма	EI0δ1,1	Сумма	EI0ΔIP

Продолжение табл.

№ точки	проверка	Q0 кН	Поперечная сила	Продольная сила
My(Δx)/cos^4φ	Q0 cosφ	X1 sinφ	Q= Q0 cos- X1 sinφ	Q0 sinφ	X1 cosφ	N=-(Q0 sinφ+ +X1 cosφ)

 

Если делить ось арки на участки с равными величинами их проекций Δx, то ΔS=ΔX/cosφ и вынося за знак суммы величину EIo, получим в каждом слагаемом множитель IoΔx/(Icosφ). Отношение Io/I=l/cos³φ.

Таким образом, в продолжение расчетной таблицы войдут величины Δx/cos⁴φ для каждого из выбранных сечений.

Если неизвестная горизонтальная реакция в одной из опор направлена внутрь пролета, то сумма величин, входящих в графу 15, даст свободный член канонического уравнения со знаком минус. Сумма величин графы 13 дает величину δ_1,1.

При проверке сумма величин, подсчитанных в графе 18, для двухшарнирной арки должна быть равна нулю, а для арки с затяжкой величине .

Для арки с затяжкой, где неизвестным является усилие в затяжке, необходимо еще учесть деформацию затяжки, работающей на растяжение, т.е. к сумме величин графы 13 надо добавить величину , где E₃ и F₃ модуль упругости и площадь сечения затяжки. В расчете следует принять, что . Итак, для арки с затяжкой коэффициент при Х₁ будет: .

Определив неизвестное по формуле Х₁=-Δip/δ_1,1, можно подсчитать ординаты окончательной эпюры М, а так же эпюр Q и N, что тоже удобнее проводить в табличной форме.

 

Методические указания

При расчете фермы методом сил следует иметь ввиду, что при узловом приложении нагрузки в стержнях фермы возникают лишь нормальные усилия, в связи с чем из общей формулы Мора учитывается только член, включающий силы N. Так как усилия, площади поперечных сечений и модули упругости по длине стержня не меняются, то интегрирование сводится к суммированию:

Таблица 8

1-ая цифра шифра	d м	Площади сечений	2-ая цифра шифра	Р кН	Площади сечений	последняя цифра шифра (№ схемы)	h м
Нижнего пояса	Верхнего пояса	решетки	элементов шпренгеля
	3,0 3,2 3,5 2,9 3,3 3,4 3,6 3,1 3,7 3,8	F 1,2F 1,4F 1,6F 1,8F 1,3F 1,5F 1,7F 1,1F 2F	1,5F 1,7F 2F 1,6F 1,4F 1,3F F 1,1F 1,2F 1,8F			1,2F F 2F 0,8F 0,9F 1,3F 1,1F 1,5F 0,7 F 1,4F	F 1,5F 0,8F 1,1F 0,9F 1,2F 1,3F 1,4F 1,6F 0,7F		3,2 3,0 3,1 2,9 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8

 

 

Рис 8

 

Основную систему удобнее выбрать симметричной – это значительно сократит объем вычислительной работы. Если за неизвестное принято усилие в стержне, то этот стержень не выбрасывается и поэтому усилие в нем должно учитываться в расчете.

При использовании симметрии можно в расчет включать только половину фермы, однако здесь следует помнить о тех стержнях, которые не имеют парного во второй половине; очевидно, длину таких стержней надо будет уменьшать вдвое.

В соответствии с общим порядком расчета статически неопределимых систем методом сил в первую очередь надо определить усилия во всех стержнях основной системы от действия единичной силы (неизвестного) и нагрузки. Дальнейший расчет удобно свести в таблицу:

№ стержня	l м		kH	kH					N=Np+N1X1
Сумма		EFoδ1,1	EFoΔ1P

Проверка:

Здесь за величину Fo удобно принять F. Растягивающие усилия в стержнях должны иметь знак плюс, а сжимающие – минус.

 

Сумма величин, подсчитанных в графе 7, дает значение коэффициента канонического уравнения EFoδ_1,1, а в графе 8 – значение свободного члена EFoΔ_1P.

После подсчета этих величин следует определить значение неизвестного:

и затем заполнить последующие графы (9,10). При проверке можно допустить ошибку не более 1-2%.

 

Методические указания

При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы (включая опорные).

При построении единичных и грузовых эпюр моментов используются таблицы реакций, имеющиеся в учебниках.

Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канонических уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость (EI₁ или EI₂). Удобно так же перейти к погонным жесткостям стержней (i=EI:l). При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками, а так же использовать теорему о взаимности реакций. Решением системы канонических уравнений необходимо проверить.

После определения значений неизвестных рекомендуется построить эпюры моментов (). Суммирование этих эпюр между собой и с грузовой эпюрой дает окончательную эпюру моментов. Суммирование рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно приводить все расчеты.

Рис.9

Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре моментов так же, как и в задаче 5.

Проверку полученных эпюр надо проводить как статическую (равновесие узлов и рамы в целом), так и кинематическую. Для последней проверки необходимо выбрать основную систему метода сил и построить хотя бы одну единичную эпюру, которую следует «умножить» на окончательную эпюру моментов по правилу Верещагина.

 

Методические указания

Все предлагаемые рамы целесообразно решать методом перемещений. Так как внешние нагрузки действуют вдоль стоек, то грузовых эпюр в основной системе не будет и свободные члены канонических уравнений обратятся в нуль.

Построение единичных эпюр для сжатых силами стоек следует проводить по специальным таблицам, а для ригелей – по обычным таблицам метода перемещений. Специальные таблицы, необходимые функции и их значения для метода перемещений можно найти, например, в пособии АФ. Смирнова «Таблицы функций для расчета стержневых систем на устойчивость и колебания», табл. 2 (изд. МИИТ, 1965).

Коэффициенты канонических уравнений будут включать в себя некоторые функции φ_n(ν_l) и φ_m(ν_k) от параметров ; ,

где P_i и P_k – силы, действующие вдоль стоек h_i и h_k; EI_i и EI_k – жесткости стоек.

По заданию силы P_i и P_k связаны между собой соотношением α, поэтому и параметры и окажутся связанными соотношением:

.

Для нахождения Р_кр составляется уравнение устойчивости

.

Это уравнение решается относительно подбором в такой последовательности: а) задаются значением ; б) по вычисленному соотношению определяется ; в) по таблицам находятся значения необходимых коэффициентов (функций φ_n (ν_l), φ_m(ν_k)…); г) найденные значения функций подставляются в уравнение устойчивости.

Если данные значения функций не удовлетворяют уравнению устойчивости, то задаются другим значением , и все вычисления повторяются. Эта операция продолжается до тех пор, пока принятые значения не будут удовлетворять уравнению устойчивости. Тогда по формулам:

и определяются значения критических сил.

Рис.10

Методические указания

Пренебрегая собственным весом конструкции по сравнению с весом двигателя Q, основную круговую частоту ω вертикальных симметричной формы собственных колебаний определяют, как и для системы с одной степенью свободы, по формуле ,

где g – ускорение силы тяжести, равное 9,81 м/сек;

- прогиб в точке приложения статической нагрузки равной по величине силе Q.

Для определения (прогиба в статически неопределимой системе) надо сначала построить эпюру моментов одним из точных методов (методом сил или перемещений) от статического действия силы Q и затем, используя правило Верещагина, вычислить интеграл

 

Рис. 11

где М₁ – момент от силы Q=1, приложенной в направлении искомого перемещения;

М_Q – момент от статического действия силы Q.

Эпюра строится для основной системы метода сил. Если эпюра М_Q тоже строилась методом сил, то для построения эпюры М₁ можно воспользоваться уже имеющейся грузовой эпюрой, уменьшив вес ее ординаты в Q раз.

Для определения следует предварительно отыскать в эпюре М_Q сечение с наибольшим, значением изгибающего момента М_Qмакс и подобрать номер стального двутаврового сечения, пользуясь формулой ,

где =160 МПа. После этого подсчитывается жесткость EI, модуль упругости рекомендуется принять равным 2·10⁵ МПа.

Круговая частота θ сек^-1 от неуравновешенной центробежной силы Psinθt находится по выражению .

Динамический коэффициент вычисляется по формуле

В дополнение к эпюре М_Q, построенной при определении , необходимо также построить эпюру М_Р от нагрузки неуравновешенной силы Р двигателя. Эта эпюра проще всего, может быть построена при помощи эпюры М_Q путем умножения всех ее ординат на величину, равную отношению P:Q.

Далее на эпюрах М_Q и М_Р следует отыскать сечение, в котором значения изгибающих моментов достигают наибольших (по абсолютной величине) значений, и определить М_{Qмак с} и М_Рмакс. Нормальное напряжение изгиба с учетом динамического воздействия неуравновешенной силы Psinθt двигателя находится по формуле .

Заметим, что для повышения точности решения следует к полученному значению