Векторы и простейшие действия над ними

Свободный вектор а (т. е. такой вектор, который без изменения длины и на-

правления может быть перенесен в любую точку пространства), заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде:

 

 

СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов а и b

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

 

3. Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов a, b и с называется скалярное произведение вектора aXb на вектор с, т. е. (aXb).c.

Смешанное произведение трех векторов а, Ь, с по модулю равно объему па-

раллелепипеда, построенного на этих векторах.

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на плоскости

ПРЯМАЯ

1. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т. е. уравнение вида:

(1) Ах+Ву+С=0 наз. общин уравнением прямой ( + ≠0),A,B,C-ПОСТОЯННЫЕ КОЭФИЦИЕНТЫ.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Окружность. Окружность—это множество точек плоскости, равноудален -

равноудаленных от данной точки (центра). Если г — радиус окружности, а точка С (а; Ь) — ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

 

 

 

Гипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная

величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фо-

кусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точках F1 (с; 0) и F2(— с; 0), то получится каноническое уравнение гиперболы

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ

плоскости,называемый нормальным вектором.

 

 

Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси .

Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности []

Коническая поверхность.

Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.

· Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Поверхности вращения ]

Поверхность называется поверхностью вращения вокруг оси , если для любой точки этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости с центром в и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , то — поверхность вращения вокруг оси .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:

В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью или является параболой.

Гиперболический параболоид ]

Гиперболический параболоид.

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью или является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти, решив систему уравнений:

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

Если обозначить , то уравнение приобретает следующий вид:

.