Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.

Задача 2.

Основание AD трапеции ABCD на 6 см больше основания BC, а средняя линия равна 7 см. Найти длины отрезков, на которые диагональ AC делит среднюю линию.

Решение:

Рисунок — как и в задаче 1.

Пусть BC=x см, тогда AD=x+6 см.

По доказанному выше,

Ответ: 2 см, 5 см.

 

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называют такой отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть три средние линии, которые образуют еще один новый треугольник, расположенный внутри.

Вершины вновь образованного треугольника находятся на срединах сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть возможность провести три средние линии.

Теперь давайте более детально остановимся на этой теме. Посмотрите на рисунок треугольника вверху. Перед вами треугольник АВС, на котором проведении средние линии. Отрезки MN, MP и NP образуют внутри данного треугольника еще один треугольник MNP.

Свойства средней линии треугольника

Каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины его сторон, обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия треугольника параллельна его третей стороне и равна её половине.

Таким образом, мы видим, что сторона АС параллельна MN, которая в два раза меньше, чем сторона АС.

2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Если мы посмотрим на треугольник АВС, то увидим, что средние линии MN, MP и NP разделили его на четыре равных треугольника, и в итоге образовались треугольники MBN, PMN, NCP и AMP.

3. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольника подобный, площадь которого равняется одной четвертой исходного треугольника.

Так, например, в треугольнике АВС средняя линия MP отсекает от данного треугольника, образуя треугольник AMP, площадь которого равна одной четвертой треугольника АВС.

10Трапеция: теорема о четырех точках.

Точки на сторонах треугольника

 

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC,... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁,... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

 

 

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.

 

 

Решение:

а) Так как точки В₁ и С₁ делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то по теореме обратной теореме Фалеса прямая В₁С₁ всегда будет параллельна BC. Отсюда следует, что четырёхугольник ВСВ₁С₁ – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Таким образом, прямая АО проходит через середины оснований трапеции ВСВ₁С₁.

б) Треугольник АВ₁С₁ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/5, следовательно, его площадь будет составлять 1/25 площади треугольника АВС или S/25. Тогда площадь трапеции ВСВ₁С₁ составляет 24/25 площади треугольника АВС, то есть 24S/25. Высота треугольника ВВ₁С₁, проведённая к стороне В₁С₁, равна высоте треугольника ВВ₁С, проведённой к стороне ВС. Поскольку В₁С₁в пять раз меньше ВС, то площадь треугольника ВВ₁С₁в пять раз меньше, чем площадь треугольника ВВ₁С₁. Обозначим площадь треугольника ВВ₁С₁ – х, тогда площадь треугольника ВВ₁С – 5 х.

Значит, х + 5х = 24S/25, 6х = 24S/25, х = 4S/25. То есть

площадь треугольника ВВ₁С₁ равна 4S/25,

площадь треугольника ВВ₁С равна 20S/25.

Рассмотрим треугольники ВСС₁ и ВСВ₁. Так как у них общее основание – ВС, и одинаковая высота, то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник ОВС, поэтому площади треугольников ВВ₁С₁ и СВ₁С₁ равны, пусть они равны р.

Треугольники ОВ₁С₁ и ОВС подобны с коэффициентом подобия 1/5. Если обозначим площадь треугольника ОВ₁С₁ через а, то площадь треугольника ОВСравна 25 а.

Так как площадь треугольника ВВ₁С₁ равна сумме площадей треугольников ВОС и В₁ОС, получаем 4S/25 = а +р.

Так как площадь треугольника ВВ₁С равна сумме площадей треугольников ОВ₁С₁ и ВОС₁, получаем 20S/25 =25 а +р. Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем

16S/25 =24а. Отсюда а = 2S/75.

Площадь четырехугольника АВ₁ОС₁ = S/25 +2S/75 = S/15

Ответ: 1:15.

 

11Вывод формул площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.

Площадь треугольника, трапеции, параллелограмма

· Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту.

· Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту.

· Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Используя рисунки выше, необходимо вспомнить, как доказывается утверждение, что «Если а является основанием треугольника, h — проведенная к нему высота, S — площадь треугольника, то

.

С помощью рисунка выше вспомните доказательство утверждения: «Если а и b — основания трапеции, h — ее высота, S — площадь трапеции, то

Используя данное утверждение о площади трапеции и рисунок ниже, вспомните доказательство утверждения: «Если а — основание параллелограмма, h — проведенная к нему высота, S — площадь параллелограмма, то S = ah».

 

Формула Герона

Теорема: Если а, b с — стороны треугольника, р — полупериметр, р=(a+b+c)/2, r — радиусвписанной окружности, S — площадь треугольника, то:

Доказательство.

Пусть а, b, с — длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC (рисунок).

Проведем высоту CC₁ и обозначим х длину отрезка АС₁. Тогда ВС₁=с-х. По теореме Пифагора получаем:

Решим это уравнение и найдем х:

Тогда:

Данная формула называется формулой Герона.

Герон Александрийский (I в.) — древнегреческий ученый, который работал в Александрии. Математические работы Герона являются энциклопедией античной практической математики.

 

 

Определение параллелограмма

 

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

 

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

 

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

 

 

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

 

 

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

 

 

 

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

 

 

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

 

 

Признаки параллелограмма

 

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

 

 

14 Углы, связанные с окружностью

• Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

• Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: .

15-16

15Вписанные и 16описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

 

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

Ответ: .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

Ответ: .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто нацелен на решение части С.

 

 

Признаки параллельности прямой и плоскости:

 

1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

 

2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

 

Признаки параллельности плоскостей:

 

1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

 

2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

 

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:

 

1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

 

Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

 

Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

 

Признаки параллельности прямых в пространстве:

 

1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

 

2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

 

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

 

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.

 

Геометрия
Таблица 36

Перпендикулярность двух плоскостей

Определение: две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.