Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение плоскости.

.Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка М , заданная радиус-вектором { х ,у , }. Пусть также задан некоторый вектор . Построим уравнение плоскости Р проходящей че­рез точку M перпендикулярно вектору .

Пусть M(x, , z) - любая точка плоскости с радиус-вектором . Тогда вектор = будет перпендикулярен вектору . Скалярное произведение и равен нулю:

.

В координатной форме это уравнение имеет вид:

 

А(х- х ) +В(у- у ) + C(z- z ) = 0. (1)

 

Данное уравнение определяет уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной век­тору .

Вектор { А,В,С } называется нормальным векто­ром плоскости (1).

 

Теорема. Любая плоскость в пространстве опре­деляется уравнением первой степени и является поверхностью первого порядка. Верно и обратное утверждение: любое уравнение первой степени от­носительно переменных х, у, z определяет плоскость в пространстве.

 

. Общее уравнение плоскости

(2).

Вектор - является нормальным вектором плоскости (1) или (2).

. Особые случаи уравнения :

а) , - плоскость проходит через начало координат.

б) , - плоскость параллельна оси oz.

в) , - плоскость проходит через ось oz.

г) , - плоскость параллельна плоскости .

д) Уравнение координатных плоскостей х=0, у=0, z=0

. е) Уравнение плоскости в отрезках на осях:

. (3)

. Пусть заданы две плоскости

,

.

Угол образованный двумя плоскостями:

,. (4)

Условие параллельности плоскостей

. (5)

Условие перпендикулярности плоскостей

. (6)

Расстояние от точки до плоскости :

. (7)

 

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:

или

 

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости .

Решение. Вектор есть нормальный вектор плоскости .

Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , и - компланарны. Условие компланарности данных трёх векторов есть:

,

или - уравнение искомой плоскости.

 

Пример 3. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение.

Уравнение прямой.

.Найдем уравнение прямой проходящей через точку и параллельной вектору . Пусть - произвольная точка прямой, тогда и по условию параллельности векторов:

(8)

Уравнение (8)- называется каноническим и является искомым уравнением прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой.

. Параметрическое уравнение прямой:

(9)

.Уравнение прямой, проходящей через две точки :

(10)

 

. Общее уравнение прямой:

(11)

. Угол между прямыми. Угол между прямыми, заданными их каноническими уравнениями: и определяется по формуле

(12)

Условие параллельности двух прямых:

(13)

Условие перпендикулярности двух прямых:

(14)

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованной прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

; (15)

Условие параллельности прямой и плоскости

(16);

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

(17).

.Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрическое уравнение прямой , , , и подставив ее в уравнение плоскости , получим некоторое значение . Подставив найденное значение в уравнение прямой, находим искомую точку пересечения прямой с плоскостью.

 

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение. Воспользуемся формулой (10) получим: или .

 

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми

и .

Решение. Точка - точка первой прямой, - точка второй прямой. - направляющий вектор.

, где - угол между векторами и N.

, .

.

.

и

Ответ: .

 

Пример 6. Для пирамиды с вершинами в точках: , найти

а) длину ребра

б) угол между ребрами и

в) уравнение плоскости

г) площадь грани

д) угол между ребром и плоскостью

е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань

ж) объем пирамиды

Решение. а) Длина ребра

.

б) Угол между ребрами и .

Обозначим через - угол между ребрами и . Тогда, если угол между векторами и острый, то равен этому углу, если же угол между этими векторами тупой, то равен этому углу минус . Так как

,

,

, то

.

Отсюда, угол между векторами и равен . Следовательно, .

в) Уравнение плоскости . Уравнение плоскости, проходящей через три точки, вычисляется по формуле

где -соответственно координаты этих точек.

Таким образом,

,

- уравнение плоскости .

г) Площадь грани .

Так как и , то

.

Отсюда - площадь грани .

д) Угол между ребром и плоскостью .

Угол между ребром и плоскостью равен , где

-угол между вектором и нормалью к плоскости , т.е. -угол между векторами и и .

Так как , то ,

, , , то .

Следовательно, и

.

е) Уравнение высоты, опущенной из точки на грань .

Пусть M – произвольная точка прямой, перпендикулярной плоскости грани и проходящей через точку .

Тогда скалярные произведения и .Так как , и , то

Следовательно,

-уравнение искомой прямой.

Или - каноническое уравнение искомой прямой.

ж) Объем пирамиды .

Так как , , , то

 

;

- объем пирамиды .

Контрольные вопросы.

1. Уравнение плоскости.

2. Угол между плоскостями.

3. Расстояние от точки до плоскости.

4. Уравнение прямой.

5. Угол между прямыми.

6. Прямая и плоскость

Задания.

1. Найти расстояние точки от плоскости проходящей через точки , , .

2. Найти плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости Найти угол между плоскостями и

3. Составить параметрическое уравнение прямой проходящей через

точку параллельно вектору .

4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящие через

две данные точки и .

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через

прямую и перпендикулярной плоскости .

6.Для пирамиды с вершинами в точках: , найти

а) длину ребра

б) угол между ребрами и

в) уравнение плоскости

г) площадь грани

д) угол между ребром и плоскостью

е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань

ж) объем пирамиды

 

Занятие 6

Кривые второго порядка.

Окружность

Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным :

 

Если раскрыть скобки в левой части уравнения (1) то получится уравнение вида

Пример 1. Написать уравнение окружности с центром и радиусом .

Решение. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом есть:

.

1.Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2а. Т.е., если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса имеем: . Числа , называются фокальными радиусами точки .

Расстояние между фокусами и обозначим через 2с. Примем за ось абсцисс, прямую соединяющую фокусы, выбрав на ней положительное направление от к ; начало координат возьмём в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно: и .

Каноническое уравнение эллипса:

 

(1)

 

где , . Числа и называются полуосями эллипса.

Вершины эллипса имеют следующие координаты , , , .

Из уравнения

следует, что или Аналогично, Следовательно, эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами, равными 2а и 2b, с центром в начале координат. Если а = b (с = 0), уравнение примет вид: х² + у² = а² и определяет окружность.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Величина эксцентриситета влияет на форму эллип­са. Так, при очень малом а и b почти равны и эллипс напо­минает окружность. Если же величина близка к еди­нице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.

 

Пример2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 8,а малая полуось =3.

Решение. Расстояние между фокусами , следовательно, .Так как ,то .Следовательно, каноническое уравнение данного эллипса есть .

2. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через 2а, а- расстояние между фокусами гиперболы. Пусть - произвольная точка гиперболы.

По определению гиперболы имеем:

Числа , называются фокальными радиусами точки .

Каноническое уравнение гиперболы:

 

(2)

 

где ,Число а- называется действительной, а число - мнимой полуосями гиперболы.

Ось симметрии на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симмет­рии - центром гиперболы;

 

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для любой гиперболы величина эксцентриситета опре­деляет форму гиперболы.

Замечание 1. у= ( /а) х и у = - ( / а)х - асимп­тоты гиперболы. Если а = , то такая гипербола на­зывается равносторонней.

Замечание 2. Если мнимая ось гиперболы равна 2а и расположена на оси Оx, а действительная ось равна 2 и расположена на оси Оy, то уравнение такой гиперболы имеет вид:

y/а - x²/ ² = 1 (3).

Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными гиперболами.

Пример3. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2.Написать ее уравнение и найти расстояние точки от фокусов.

Решение. Общий вид уравнения гиперболы есть: + =1. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2, следовательно, =3, a = 2 .Следовательно, -уравнение искомой гиперболы. .

и -фокусы данной гиперболы. ,

3. Парабола.

Парабола есть геометрическое место точек, равностоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой.

 

Выберем систему координат таким

образом: за ось Оx примем прямую

проходящую через фокус .

Пусть - произвольная точка

лежащая на параболе. Пусть точка

N – основание перпендикуляра

опущенного из М на директрису.

По определению параболы .

Каноническое уравнение параболы:

 

. (3)

Уравнение директрисы записывается в виде: .

Точка (0.0) – точка пересечения параболы с осью симметрии и называется вершиной параболы.

 

Пример4. Написать уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки (0,0) и (2,-4).

Решение. Уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через начало координат есть .Точка (2,-4)-лежит на параболе, следовательно,(-4) = , и уравнение параболы имеет вид

Контрольные вопросы.

1.Эллипс.

2. Гипербола.

3. Парабола.

Задания.

1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Лежат ли на этой окружности точки , , .

2.Построить эллипс . Найти: 1)полуоси, 2)координаты фокусов,3) эксцентриситет.

3.Построить гиперболу . Найти: 1)действительную и мнимую полуоси, 2)координаты фокусов, 3) эксцентриситет, 4) уравнения асимптот.

4.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки и от прямой . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.