Алгебраические дополнения и миноры.

1º Минором некоторого элемента определителя, называется определитель, получаемый из данного определителя путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент и обозначается . Например, минором элемента определителя = является определитель = , минором элемента является определитель = и т.д..

2º Алгебраическое дополнение элемента равно минору этого элемента взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, есть число чётное, и с обратным, если это число – нечётное т.е. .

3º Определитель равен сумме произведений элементов, какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Например,

.

Пример 1. Вычислить определитель:

 

3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.

Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решение.

Если все равны нулю, то система называется однородной.

 

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

при условии, что определитель системы

=

не равен нулю, имеет следующее единственное решение:

 

(5)

 

где ; ; = .

 

Если определитель системы , то возможны два предположения:

1. Элементы двух строк определителя пропорциональны, например: , тогда:

а) если ,то система не совместна;

б) если , то система не определена;

2. Если найдутся числа и такие, что:

,

 

тогда: а) если , то система не совместна;

б) если , то система не определена.

 

Пример 2. Дана система линейных уравнений:

Установить, что система совместна и найти её решение методом Крамера.

Решение. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементам строки. Разложим по первой строке:

Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение. Найдём решение системы по формуле Крамера.

; ;

; ;

Пример 3. Решить систему уравнений.

Решение. и . Однако система не имеет решений. В самом деле, умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым уравнением системы, получим , что не возможно, т.е. система не совместна и не имеет решений.

 

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение. , Система имеет бесконечно много решений. В самом деле, складывая первые два уравнения, получаем третью и данная система имеет два существенных уравнения:

Следовательно, получим

Контрольные вопросы

1. Определители.

2. Алгебраические дополнения и миноры.

3. Решение системы методом Крамера. Исследование системы.

 

Задания.

1. Вычислить определители, разложив их по элементам:а) первого столбца; б) по элементам третьей строки.

, .

2. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя.

.

4. Решить системы уравнений методом Крамера.

, , .

.

Занятие3

1. Матрицы.

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей третьего порядка, а определитель

соответствующим определителем этой матрицы.

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей второго порядка, а определитель

соответствующим определителем этой матрицы.

 

 

1.Матрица A называется невырожденной, если и вырожденной (особой), если .

2.Если элементы , то матрица называется симметрической

3.Две матрицы и считается равными тогда и только тогда когда .

4. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которого равны нулю

5. Единичной матрицей называется матрица ,

 

Элементарные преобразование матриц.

 

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1) Перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы;

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное то нуля;

3)Прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов параллельной строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получится из другой с помощью элементарных преобразований.

Суммой двух матриц А и В называется матрица А+В, определяемое равенством

Произведением матрицы А на число называется матрица , определяемое равенством

Произведением двух матриц A и B называется матрица AB определяемое равенством

,

т.е. элемент матрицы – произведения стоящей в -й строке и k - м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы A и k -го столбца матрицы B.

Для произведения двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: .

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц .

Обратная матрица

1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если . Матрицу, обратную по отношению к матрице A, принято обозначать .

2) Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

3) Обратная матрица к матрице находится по формуле

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы .

 

4)Обратная матрица к матрице находится по формуле

где - алгебраические дополнения элемента определителя .

Пример1. Найти сумму и произведения матриц и .

 

Решение.

,

 

Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; :

; ; ;

; ; .

Следовательно,

.

3. Матричный способ решения линейных уравнений.

Матрицей – столбцом называется матрица вида .

Произведение определяется равенством:

Система уравнений

может быть записана в виде

 

,

 

где .

Решение этой системы имеет вид , если .

 

 

Пример 3. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Перепишем систему в виде ,

где , , .

Решение матричного уравнения имеет вид . Найдем . Имеем

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Таким образом, .

Откуда

Следовательно, , , .

Пример 4 Решить матричные уравнения , где .

 

Решение.

1) Найдем обратную матрицу . Обратная матрица к матрице вычисляется по формуле:

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы , находящегося на пересечении -ой строки и -го столбца.

, то .

2)Умножим слева правую и левую части равенства на . Получим .

3) Умножим справа правую и левую части равенства на . Получим .

4) Таким образом:

,

 

.

Ранг матрицы.

Пусть дана прямоугольная матрица

.

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов . Определитель k- го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k -го порядка.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A, отличные от нуля. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы А будем обозначать r(A).

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.

Пример 5. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы.

Решение.

Имеем

Все миноры третьего порядка равны нулю. Базисными минорами является миноры второго порядка этой матрицы отличные от нуля:

, , , .

Итак, ранг данной матрицы r(A)=2.