Передаточная функция замкнутой системы

 

W(p) = = =.

 

В общем виде

W(p) =,

 

где a₀ = k = 50; a₁ = 1; a₂ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

a₃ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; b₀ = k = 50.

 

Передаточная функция по ошибке

 

W_D(p) = 1 – W(p) = =.

 

Построение частотных характеристик

Аналитические выражения для частотных характеристик замкнутой системы получают из комплексной передаточной функции W(jw):

АЧХ – модуль комплексной передаточной функции: A(w)= |W(jw)|;

ФЧХ – аргумент комплексной передаточной функции: j(w) = arg(W(jw)).

Передаточная функция замкнутой системы в общем виде

W(p) =.

Комплексную передаточную функцию получим, подставив p = jw:

W(jw) =.

Одним из возможных путей получения функций АЧХ и ФЧХ является следующий. Обозначим:

P_b(w) = b₀ – действительная часть числителя,

Q_b(w) = 0 – мнимая часть числителя,

P_a(w) = a₀ – a₂ w ² – действительная часть знаменателя,

Q_a(w) = a₁ w – a₃ w ³ – мнимая часть знаменателя,

тогда

W(jw) =.

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим последнее выражение на.

W(jw) = ∙ = =
= = P(w) + jQ(w),

где

P(w) =,

Q(w) =.

Амплитуда – модуль комплексной передаточной функции:

A(w) = | W(jw) | =.

Фаза – аргумент комплексной передаточной функции:

j(w) = arg(W(jw)) =

По полученным формулам рассчитаем P_a(w), P_b(w), Q_a(w), Q_b(w), P(w), Q(w), A(w), j(w) при изменении w от 0 до 90º, занесем данные в табл. 2 и построим зависимости A(w) и j(w) (если фаза получается положительной, на графике откладываем j(w)–2p). Диапазон изменения частоты выбирается таким, чтобы показать все особенности частотных характеристик.

Таблица 2

Расчетные данные для частотных характеристик

w, с^-1	Pa	Pb	Qa	Qb	P	Q	A	j, рад
	47.38		4.938		1.044	-0.109	1.050	-0.103
	39.5		9.5		1.197	-0.288	1.231	-0.236
	26.38		13.31		1.511	-0.763	1.692	-0.467
					1.25	-2.5	2.795	-1.107
	-15.63		17.19		-1.448	-1.593	2.152	-2.308
	-44.5		16.5		-0.988	-0.3663	1.053	-2.786
	-78.63		13.56		-0.618	-0.1065	0.626	-2.970
	-118				-0.422	-0.0286	0.422	-3.074
	-212.5		-12.5		-0.234	0.0138	0.234	-3.200
	-464.5		-101.5		-0.103	0.0225	0.105	-3.356
	-800.5		-274.5		-0.056	0.0192	0.059	-3.471

 

Рис. 3. Частотные характеристики замкнутой системы

Частотные характеристики системы показаны на рис. 3. Аналогично построим логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы (рис. 4). Значения ЛАЧХ рассчитываются из выражений

L_P(w) = 20 log (A_P(w));

j_Р(w) = arg(W_P(jw)).

Рис. 4. ЛЧХ разомкнутой системы

 

Для построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде произведения передаточных функций типовых звеньев:

W_p(p) = = k.

Число интегрирующих звеньев (порядок астатизма) n = 1.

k = 50; T₁ = 0,005 c; T₂ = 0,1 c.

Определим логарифмическую амплитуду при частоте ω=1:

L_p(1) = 20 log k = 34.

 

Таблица 3

Данные для асимптотической ЛАЧХ

Wi(p)	тип звена	Ti, с	wi, с^–1	Изменение наклона, дБ/дек	Суммарный наклон, дБ/дек
			начальный наклон	– 20
	Интегрирующее	0,1		– 20	– 40
	Интегрирующее	0,005		– 20	– 60

 

Полученные данные (табл.) позволяют построить асимптотическую ЛАЧХ (рис. 5).

Рис. 5. Асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы