Привести и проанализировать конечные результаты решения сферического и радиального уравнения Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода разделяется на два уравнения: 1) сферическое:

(1)

2) радиальное:

(2)

 

Уравнение (1) хорошо известно в математике (см. любой курс методов математической физики, раздел «Уравнение Лапласа в сферических координатах»). Искомые решения уравнения (1) называются сферическими функциями. Они зависят от целых чисел l и m, что отражено в их символическом обозначении. Эти функции имеют явный вид:

(3)

где - присоединенный полином Лежандра от аргумента cos θ вычисляется по формуле:

(4)

Нормировочный множитель в формуле (3) определяется из условия нормировки:

(5)

Из уравнения (2) устанавливается явный вид радиальных функций:

(6)

где , r ₁- радиус первой Боровской орбиты, i = 0,1,2,...

Коэффициенты вычисляются из рекуррентной формулы, полученной из решения радиального уравнения (2):

(7)

где , .

Кроме того, из (2) следует:

(8)

Решение уравнения (1) приводит к количественным результатам:

,

(9)

 

(10)

Выше приведены следующие обозначения для физических величин, описывающих состояние электрона в атоме водорода: - полная энергия, - орбитальный механический момент импульса и его проекция на ось z соответственно, n - главное квантовое число, - механическое орбитальное квантовое число, m – магнитное орбитальное квантовое число.

2). №15.Для δ – функции Дирака закончить равенства: 1) 2)

3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

 

3).

Билет №16

1). Разделить переменные в сферическом уравнении Шредингера для атома водорода.

Воспользуемся ранее полученным из стационарного уравнения Шредингера для атома водорода сферическим уравнением Лагранжа:

(1)

Введем обозначение:

(2)

С учетом (2) уравнение (1) принимает вид:

(3)

Уравнение (3) решаем методом разделения переменных. Для этого представим сферическую функцию в виде произведения

(4)

Выражение (4) подставим в (3), вынося за знак производных функции, на которые производные не действуют:

(5)

Разделим левую и правую части (5) на выражение и преобразуем его:

(6)

Как видно из (6), левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных

Такое равенство выполняется лишь при условии, что каждая часть независимо друг от друга равна общей постоянной величине. Обозначим ее . Тогда (6) разбивается на два независимых уравнения:

(7)

 

(8)

2). Доказать правомерность представления δ-функции Дирака в виде

Как известно, δ -функцией Дирака называют функцию δ (β), удовлетворяющую следующим условиям:

(1)

Из (1) следует, что функция δ (β) носит резко выраженный сингулярный характер. Качественно ее можно представить себе равной нулю всюду, кроме точки β = 0, а в этой точке настолько большой, что площадь, ограниченная графиком этой функции и осью β, конечна и равна единице.

Весьма полезным оказывается одно частное представление δ (β) в виде предельного значения функции где g – положительное вещественное число. Эта функция, равная при β = 0 при увеличении осциллирует с постоянно убывающей амплитудой и с периодом а интеграл от нее по β, взятый в пределах равен единице независимо от значения g. Поэтому предел при имеет все свойства δ - функции; при β = 0 он становится бесконечно большим, интеграл от предельного выражения равен единице, а бесконечно быстрые осцилляции при увеличении означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен бесконечно малой окрестностью точки β = 0. В связи с этим можно положить

(2)

3).

Билет №17

1) Установить зависимость сферической функции атома водорода от азимутального угла . Вычислить величину проекции орбитального механического момента импульса и возможные значения магнитного орбитального квантового числа m электрона в атоме водорода.

Решим уравнение, полученное после разделения переменных в сферическом уравнении Шредингера для атома водорода:

(1)

Уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из математического анализа решение такого уравнения отыскивается в виде с помощью характеристического уравнения В конечном итоге искомая функция с точностью до постоянного коэффициента оказывается равной:

(2)

 

Учитывая периодичность функции (2)

(3)

можно установить возможные значения числа m:

(4)

Легко проверить, что (2) является собственной функцией оператора проекции механического орбитального момента импульса . Действительно, , откуда следует, что является собственным значением оператора проекции механического орбитального момента импульса на ось z , т.е.

(13)

Число m носит название квантового магнитного орбитального числа

2) Охарактеризовать элементы, входящие в формулу для волнового пакета свободной частицы

Как известно, понятие дисперсии сводится к понятию среднеквадратичного отклонения рассматриваемой величины от его среднего значения. В частности, дисперсия координаты задается выражением

(1)

а дисперсия импульса -

(2)

Рассмотрим эти понятия () в рамках задачи о свободном движении частицы. В квантовой механике роль начального условия играет задание волновой функции системы в момент t = 0. Подберем эту волновую функцию таким образом, чтобы при t = 0 средние значения координаты и импульса свободной частицы равнялись заданным значениям

(3)

а неопределенности координаты и импульса были бы минимальными, т.е.

(4)

Можно показать, что этим требованиям отвечает функция

(5)

Она нормирована в соответствии с общим правилом нормировки

(6)

И нормировочный коэффициент равен величине .

Пользуясь определением среднего в квантовой механике можно доказать (3) и вычислить средние величины, входящие в (1) и (2) и из (1), (2) вычислить дисперсии координаты и импульса:

(7)

Из (7) следует

(8)

Отсюда видно, что выбранная волновая функция (5) обладает уникальным свойством – она минимизирует соотношение неопределенностей Гейзенберга, приводя к равенству (4), т.к. (8) тождественно (4).

Из (7) видно, что квадрат величины b, входящей в нормировочный коэффициент волновой функции (5) имеет смысл удвоенной дисперсии координаты свободной частицы в начальный момент времени.

Можно показать, что состояние с волновой функцией (5) не является стационарным и энергия не имеет определенного значения. Такое нестационарное состояние частицы, довольно четко локализованное в пространстве, является примером пространственного волнового пакета.

3)

Билет №18

1) Установить зависимость сферической функции атома водорода от полярного угла .

Воспользуемся ранее полученным из стационарного уравнения Шредингера для атома водорода сферическим уравнением Лагранжа:

(1)

Введем обозначение:

(2)

После разделения переменных уравнение (1) разбивается на два:

(3)

 

(4)

В (3) и (4) m –постоянная величина, которая устанавливается в процессе решения уравнения (3) и называется квантовым магнитным орбитальным числом электрона в атоме водорода.

Решим уравнение (4). Распишем подробно:

(5)

Подставим (5) в (4):

(6)

Разделим левую правую части (6) на выражение . В результате получим:

(7)

При знаменатели в (7) обращаются в и (7) теряет смысл. Следовательно, функция должна содержать в качестве сомножителя синус:

(8)

Дифференцируя (8) и подставляя результат в (7), получаем уравнение:

(9)

Для устранения в знаменателе (9) (причину этого смотри выше) полагаем

, откуда следует:

(10)

Т.к. число m может принимать отрицательные значения, то его величина берется по модулю в силу условия .

Тогда (9) принимает вид:

(11)

Далее решение (11) отыскивается в виде ряда

(12)

Дифференцируем (12), результат подставляем в (11) и объединяем слагаемые с одинаковыми степенями косинусов:

(13)

Равенство (13) выполняется, если коэффициенты при всех степенях равны нулю. Приравнивая к нулю эти коэффициенты, получаем:

(14)

 

(15)

Остальные коэффициенты находятся аналогично (15):

(16)

 

Выражение (16) представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую вычислить последующий коэффициент через предыдущий . Из (16) следует, что ряд (12) может содержать либо четные степени косинусов , либо нечетные . В общем виде (12) принимает вид:

(17)

Тогда

2) Доказать свойство δ – функции Дирака:

Чисто формально δ-функцией называется функция δ(х), удовлетворяющая следующим требованиям:

(2)

Конечно, такая функция выходит за рамки величин, рассматриваемых в классическом анализе. Наглядно δ-функцию можно представлять себе следующим образом. Рассмотрим обычную функцию, которая всюду равна нулю, кроме малого интервала Δх, включающего точку x = 0. Если теперь стремить размеры этого интервала к нулю, одновременно увеличивая значение функции внутри него так, чтобы площадь под ее графиком все время оставалась равной единице, то «в пределе» мы и получим δ -функцию.

Одно из наиболее важных свойств δ-функции, которое математики и положили в основу ее строгого определения, состоит в том, что для любой непрерывной функции f (x) имеем

(3)

Докажем (3). Действительно, для значений х за пределами сколь угодно малого интервала, содержащего точку х = 0, δ-функция равна нулю, благодаря чему в левой части (3) можно заменить на f (0). Вынося это постоянное число за знак интеграла и пользуясь последним условием (2), мы получим (3).

 

3).

Билет №19

1) Рассчитать максимальный номер слагаемого полинома входящего в состав функции атома водорода и записать окончательный вид этой функции. Установить величину орбитального механического момента импульса М и возможные значения механического орбитального квантового числа l электрона в атоме водорода.

Ряд (17) не может содержать бесконечное число слагаемых, т.к. в противном случае функция с учетом (8) становится бесконечной, что не отвечает стандартному требованию ограниченности волновой функции. Следовательно, k – конечное целое число, имеющее смысл номера последнего слагаемого ряда (17), который приобретает в этом случае вид полинома. Таким образом, - последний ненулевой коэффициент полинома (17). Тогда, учитывая, что , из (16) получаем:

(18)

Или:

(19)

Обозначив

(20)

Получаем

(21)

Из (20) следует

(22)

 

Т.к. , то , т.е.

Из (2) следует , или , или

(23)

И окончательно для волновой функции имеем:

(24)

2) Определить явление, описываемое формулой

Прохождением частиц через потенциальные барьеры объясняется целый ряд физических явлений: внешняя контактная разность потенциалов при соприкосновении разнородных проводников, холодная эмиссия электронов (испускание электронов с поверхности проводнка при напряженности электрического поля вблизи этой поверхности свыще ~ 100 кэВ/см), некоторые ососбенности ядерных реакций (например попадание протона внутрь ядра извне при его кинетической энергии, меньшей чем энергия электрического отталкивания ядра атома), спонтанный α – распад радиоактивных ядер и др.

3)

Билет №20

1) Присоединенный полином Лежандра. Общий вид нормировочного коэффициента сферической функции атома водорода, заданной через полином Лежандра.

Волновая функция, являющаяся решением сферическое уравнение Шредингера для атома водорода, имеет вид:

(1)

Как видно из (1), эта функция содержит полином. Коэффициенты полинома устанавливаются через предыдущие коэффициенты с помощью рекуррентной формулы

(2)

Таким образом, явный вид всех коэффициентов можно установить через первый. Первый же коэффициент будет в конечном итоге играть роль нормировочного коэффициента и определяться из условия нормировки. Однако, можно упростить получение полинома в (1) и вместо поиска нормировочных коэффициентов для установить формулу для общего нормировочного коэффициента. Для этого коэффициент представляют в виде:

(3)

В этом случае вместо полинома получается полином вида:

(4)

где . Сферическая функция (1) при этом принимает вид:

(5)

В (5) общий нормировочный коэффициент устанавливается из условия нормировки

(6)

и имеет вид:

(7)

2)Пояснить рисунок

 

 

Зависимость потенциальной энергии U (r) α - частицы от ее расстояния r до центра ядра показана на рисунке 2. При r < R (R – радиус действия на α - частицу ядерных сил, величина которого близка к радиусу ядра) ход потенциальной

энергии приближенно представлен в виде потенциальной ямы с вертикальными стенками. При r > R, когда на α - частицу действуют только силы электрического отталкивания, ход потенциальной энергии определяется формулой для энергии взаимодействия двух точечных электрических зарядов:

(1)

Здесь Z – порядковый номер материнского ядра, а - заряд дочернего ядра, электрическое поле которого отталкивает α – частицу, обладающую энергией 2 e.

 

3)

Билет №21

1) Решение радиального уравнения Шредингера. Полная энергия атома водорода. Главное квантовое число.

Деление переменных в стационарном уравнении Шредингера для атома водорода

(1)

заданном в сферической системе координат, приводит к разделению (1) на три уравнения, каждое из которых зависит от своей переменной. Уравнение, зависящее от радиуса r, называется радиальным уравнением и имеет вид:

(2)

где

(3)

Учтем, что (см.7б-2), а (см.7в-21), подставим (3) в (2) и перенесем все в левую часть и сгруппируем слагаемые. В результате (2) примет вид:

(4)

Беря производные в (4) и проводя преобразования, получаем:

(5)

Введем обозначения:

(6)

После подстановки (6) и в (5), последнее приобретает вид:

(7)

Решение уравнения (7) отыскивается в виде произведения двух функций

(8)

где -асимптотическая функция, отыскиваемая при условии , т.е. в области, где . Подставляя (8) в (7) получаем:

(9)

Тогда

(10)

Функция отыскивается в виде ряда по степеням r, аналогично методу определения сферических функций (см.7в1-8). В результате из (7) устанавливается полная функция :

(11)

где , – радиус первой боровской орбиты, - главное квантовое число. Коэффициенты определяются через рекуррентную формулу:

(12)

где , . Последнее выражение и явный вид и (см. (6)) позволяют установить формулу полной энергии атома водорода:

(13)

 

Пояснить формулу

число соударений α – частицы со стенками потенциальной ямы в единицу времени равно

Для получения коэффициента D прохождения через потенциальный барьер воспользуемся теорией потенциальных барьеров произвольной формы:

где

При наших не претендующих на большую точность расчетах можно принять, что Тогда вычисления приводят к следующему выражению для G:

 

Логарифмируя формулу (1), получим с учетом выражений (4), (5) и (7):

Эта формула устанавливает искомую связь между свойствами ядра (величиной R, зависящей от радиуса ядра, и его порядковым номером Z), энергией α – частицы Е и постоянной распада λ. В частности она подтверждает закон Гейгера – Нэттола

 

3)

Билет №22