Дельта-функция Дирака, ее свойства и интерпретация в физике.

БИЛЕТ № 2

1). Нормировка в ящике волновой функции свободной частицы.

Как известно собственные функции оператора Гамильтона свободной частицы имеют вид

или

(3)

где С - число, - волновой вектор свободно движущейся частицы с импульсом , а компоненты вектора могут принимать любые вещественные значения.

Эти функции квадратично не интегрируемы, т.е. интеграл от квадрата их модуля по бесконечности расходится (равен бесконечности). Вследствие расходимости этого интеграла обычный способ нормировки на единицу неприменим и для отыскания числового коэффициента С в (3) пользуются несколькими методами, одним из которых получил название «нормировка в ящике». В рамках этого метода ограничиваются заданием функции (3) в произвольно большом, но конечном кубе объема с центром в начале координат. На стенках этого куба функции (3) должны удовлетворять граничным условиям периодичности

(4)

Тогда условие нормировки для одномерного движения, например вдоль оси х принимает вид:

(5)

 

Подставляя в (5) получаем . Аналогичные расчеты для двух других осей приводят к тем же результатам. Тогда для полной функции (3) имеем и окончательно

или

(6)

Используя условие периодичности (4) можно показать, что вектор , в отличие от свободной частицы в бесконечном пространстве, не является произвольным: его компоненты могут принимать лишь значения

(7)

где квантовые числа положительные или отрицательные целые числа или нули. Соответственно собственные значения оператора полной энергии равны

(8)

Выбирая достаточно большим, можно делать расстояния между соседними собственными векторами сколь угодно малыми; соответственно как угодно близко будут расположены и собственные значения оператора энергии (8).

Интересно отметить, что собственными функциями (6) нельзя пользоваться внутри ящика с идеально твердыми стенками, т.к. эти функции нигде не обращаются в нуль. Это аналогично классической ситуации, когда импульс частицы не сохраняется при отражении от твердочй стенки. С другой стороны, кубический ящик, на стенках которого волновая функция должна подчиняться граничным условиям периодичности, соответствует случаю, когда все бесконечное пространство разделено на кубы, и все волновые функции периодичны с периодом по каждой из трех осей прямоугольной системы координат. Если условие периодичности пространства перенести в соответствующую классическую задачу, то частица, проходящая через стенку, будет эквивалентна частице, падающей на эту стенку и появляющейся (с тем же импульсом) в соответствующей точке противоположной стенки.

Легко убедиться в том, что собственные функции (6) оператора полной энергии ортонормированны. Действительно, интегрируя по области объема , получаем

где δ- символ Кронекера: , где первое условие отвечает условию нормировки, а второе – ортогональности волновых функций.

Смотри 2 вопрос билета №1

 

3).

Билет №3.

1)

Смотри 2 вопрос билета №1

Билет №4.

Смотри 2 вопрос билета №1

 

3).

Билет № 5.

1). Аналитическое представление δ -функции Дирака.Нормировка на δ-функцию.

Аналитическое представление δ-функции Дирака. Как известно, δ -функцией Дирака называют функцию δ (β), удовлетворяющую следующим условиям:

(1)

Из (1) следует, что функция δ (β) носит резко выраженный сингулярный характер. Качественно ее можно представить себе равной нулю всюду, кроме точки β = 0, а в этой точке настолько большой, что площадь, ограниченная графиком этой функции и осью β, конечна и равна единице.

Весьма полезным оказывается одно частное представление δ (β) в виде предельного значения функции где g – положительное вещественное число. Эта функция, равная при β = 0 при увеличении осциллирует с постоянно убывающей амплитудой и с периодом а интеграл от нее по β, взятый в пределах равен единице независимо от значения g. Поэтому предел при имеет все свойства δ - функции; при β = 0 он становится бесконечно большим, интеграл от предельного выражения равен единице, а бесконечно быстрые осцилляции при увеличении означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен бесконечно малой окрестностью точки β = 0. В связи с этим можно положить

(2)

 

Нормировка на δ-функцию Дирака. Представлением δ – функции в виде (2) можно воспользоваться при нормировке собственной функции оператора Гамильтона свободной частицы. Как известно, эта функция имеет вид

(3)

где С - число, - волновой вектор свободно движущейся частицы с импульсом , а компоненты вектора могут принимать любые вещественные значения.

Эта функция квадратично не интегрируема, т.е. интеграл от квадрата модуля этой функции по бесконечности расходится (равен бесконечности). Вследствие расходимости этого интеграла обычный способ нормировки на единицу неприменим. Будем искать нормировочный коэффициент С, который бы во первых, отвечал свойству ортогональности волновых функций (3), а во вторых соответствовал бы расходимости указанного выше интеграла.

Рассмотрим одномерный случай движения вдоль оси x. Пусть - компоненты вектора на ось х. Тогда из (3) имеем:

(4)

Рассчитаем интеграл ортогональности собственных функций (3) для этого движения с учетом (1) и (2):

(5)

Если в (5) , то интеграл становится равным δ -функции Дирака и, следовательно обладает его свойствами (1):

(6)

т.е. при интеграл в (6) равен , а при - обращается в ноль. Последнее соответствует свойству ортогональности рассматриваемых функций.

Таким образом

(4)

Аналогичные вычисления можно сделать и для оставшихся координат y и z. Тогда из (3) следует, что и для бесконечного пространства собственные функции оператора Гамильтона свободной частицы приобретают вид:

(5)

А общее условие ортогональности есть

(6)

Смотри 2 вопрос билета №1

 

3).

 

Билет №7

Понятие дисперсии координаты и импульса. Минимизирующий волновой пакет свободной частицы. Дисперсия и средние значения координаты и импульса в начальный момент времени для минимизирующего волнового пакета свободной частицы:

Как известно, понятие дисперсии сводится к понятию среднеквадратичного отклонения рассматриваемой величины от его среднего значения. В частности, дисперсия координаты задается выражением

(1)

а дисперсия импульса -

(2)

Рассмотрим эти понятия () в рамках задачи о свободном движении частицы. В квантовой механике роль начального условия играет задание волновой функции системы в момент t = 0. Подберем эту волновую функцию таким образом, чтобы при t = 0 средние значения координаты и импульса свободной частицы равнялись заданным значениям

(3)

а неопределенности координаты и импульса были бы минимальными, т.е.

(4)

Можно показать, что этим требованиям отвечает функция

(5)

Она нормирована в соответствии с общим правилом нормировки

(6)

И нормировочный коэффициент равен величине .

Пользуясь определением среднего в квантовой механике можно доказать (3) и вычислить средние величины, входящие в (1) и (2) и из (1), (2) вычислить дисперсии координаты и импульса:

(7)

Из (7) следует

(8)

Отсюда видно, что выбранная волновая функция (5) обладает уникальным свойством – она минимизирует соотношение неопределенностей Гейзенберга, приводя к равенству (4), т.к. (8) тождественно (4).

Из (7) видно, что квадрат величины b, входящей в нормировочный коэффициент волновой функции (5) имеет смысл удвоенной дисперсии координаты свободной частицы в начальный момент времени.

Можно показать, что состояние с волновой функцией (5) не является стационарным и энергия не имеет определенного значения. Такое нестационарное состояние частицы, довольно четко локализованное в пространстве, является примером пространственного волнового пакета.

 

Пояснить графики

 

 

3).

Билет №8

1) Эволюция во времени средних значений координаты, импульса и их дисперсии минимизирующего волнового пакета свободной частицы, плотность его координатного распределения и скорость расплывания.

Считать вид пакета в начальный и произвольный момент времени известными:

Чтобы выяснить, как ведет себя с течением времени свободная частица, которая в начальный момент находится в состоянии с волновой функцией

(1)

необходимо решить общее уравнение Шредингера. Это решение имеет вид:

Пользуясь определением среднего в квантовой механике можно вычислить средние значения координаты и импульса в состоянии (2). Эти значения оказываются равными:

(3)

Из (3) видно, что «в среднем» свободная квантовая частица движется также, как классическая, начинающая движение из точки с импульсом Однако в квантовом случае в заданный момент t координата частицы не имеет определенного значения: она «размазана» вокруг точки с дисперсией , которую можно найти из (2), пользуясь определением дисперсии:

.

(4)

Она оказывается равной

(5)

Из (5) видно, что с течением времени увеличивается. При этом из (2) можно вычислить плотность координатного распределения :

(6)

т.е. волновой пакет (2), описывающий состояние свободного движения частицы, «расплывается» с течением времени. Скорость этого расплывания можно характеризовать временем , в течении которого первоначальная (при ) дисперсия координаты удваивается:

(7)

Из (7) видно, что чем меньше первоначальная неопределенность координаты

(), тем быстрее происходит расплывание пакета. Это явление не имеет аналога в классической механике, поскольку размеры области локализации классической корпускулы в данный момент времени полностью определяются ее собственными размерами и не зависят от времени.

Дисперсия импульса в состоянии (2), вычисленная по формуле

(8)

оказывается равной

(9)

Она, как и , не зависит от времени, что и должно быть для интеграла движения.

Если область первоначальной локализации частицы очень велика , расплывание пакета происходит настолько медленно, что в течение большого промежутка времени не происходит заметного изменения дисперсии , причем . Следовательно, в этом случае свободное движение частицы очень похоже на распространение монохроматической плоской волны. Увеличивая b, можно сколько угодно приближаться к состоянию плоской волны, однако состояние с не может быть реализовано никогда. Следует отметить, что дисперсия координаты согласно (5) не зависит от среднего импульса частицы . Поэтому рассмотренная картина расплывания пакета имеет место и в том случае, когда частица в среднем покоится .

2). Пояснить формулы:

 

Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода разделяется на два уравнения: 1) сферическое:

(1)

2) радиальное:

(2)

 

Уравнение (1) хорошо известно в математике (см. любой курс методов матема­тической физики, раздел «Уравнение Лапласа в сферических координатах»). Искомые решения уравнения (1) называются сферическими функциями. Они зависят от целых чисел l и m, что отражено в их символическом обозначении. Эти функции имеют явный вид:

(3)

где - присоединенный полином Лежандра от аргумента cos θ вычисляется по формуле:

(4)

Нормировочный множитель в формуле (3) определяется из условия нормировки:

(5)

Из уравнения (2) устанавливается явный вид радиальных функций:

(6)

где , r ₁- радиус первой Боровской орбиты, i = 0,1,2,...

Коэффициенты вычисляются из рекуррентной формулы, полученной из решения радиального уравнения (2):

(7)

где , .

Кроме того, из (2) следует:

(8)

Решение уравнения (1) приводит к количественным результатам:

,

(9)

 

(10)

Выше приведены следующие обозначения для физических величин, описывающих состояние электрона в атоме водорода: - полная энергия, - орбитальный механический момент импульса и его проекция на ось z соответственно, n - главное квантовое число, - механическое орбитальное квантовое число, m – магнитное орбитальное квантовое число.

3).

Билет №9

1)

Прохождением частиц через потенциальные барьеры объясняется целый ряд физических явлений: внешняя контактная разность потенциалов при соприкосновении разнородных проводников, холодная эмиссия электронов (испускание электронов с поверхности проводнка при напряженности электрического поля вблизи этой поверхности свыше ~ 100 кэВ/см), некоторые ососбенности ядерных реакций (например попадание протона внутрь ядра извне при его кинетической энергии, меньшей чем энергия электрического отталкивания ядра атома), спонтанный α – распад радиоактивных ядер и др.

 

2) Дать названия элементам, входящие в формулы:

Деление переменных в стационарном уравнении Шредингера для атома водорода

(1) см.7а-6

заданном в сферической системе координат, приводит к разделению (1) на три уравнения, каждое из которых зависит от своей переменной. Уравнение, зависящее от радиуса r, называется радиальным уравнением и имеет вид:

(2) см.7а-12

где

.

(3)

Учтем, что (см.7б-2), а (см.7в-21), подставим (3) в (2) и перенесем все в левую часть и сгруппируем слагаемые. В результате (2) примет вид:

(4)

Беря производные в (4) и проводя преобразования, получаем:

(5)

Введем обозначения:

(6)

После подстановки (6) и в (5), последнее приобретает вид:

(7)

Решение уравнения (7) отыскивается в виде произведения двух функций

(8)

где -асимптотическая функция, отыскиваемая при условии , т.е. в области, где . Подставляя (8) в (7) получаем:

(9)

Тогда

(10)

Функция отыскивается в виде ряда по степеням r, аналогично методу определения сферических функций (см.7в1-8). В результате из (7) устанавливается полная функция :

(11)

где , – радиус первой боровской орбиты, - главное квантовое число. Коэффициенты определяются через рекуррентную формулу:

(12)

где , . Последнее выражение и явный вид и (см. (6)) позволяют установить формулу полной энергии атома водорода:

(13)

 

3)

 

Билет №10

1)Энергетический спектр спонтанного α-распада атомных ядер. Квантовомеханическое толкование спонтанной α- радиоактивности.

Ядра одного и того же изотопа могут испускать α-частицы с несколькими строго определенными значениями энергии. Иначе говоря, α-частицы обладают дискретным энергетическим спектром. На рисунке 1 показана схема распада ядер изотопа урана .

Конечным продуктом распада в этом случае является изотоп тория . Около уровней ядра показана энергия этих уровней в мегаэлектронвольтах (за нуль принята энергия основного состояния). Около стрелок указан тип спада, энергия α-частиц или γ-квантов (также в мегаэлектронвольтах) и доля α-частиц (в процентах), обладающих данной энергией. Объясняется это следующим образом. Получающееся при распаде дочернее ядро согласно законам квантовой механики может находиться в нескольких различных состояниях, в каждом из которых оно обладает определенной энергией. Состояние с наименьшей возможной энергией является устойчивым и называется основным. Остальные состояния называются возбужденными. В них ядро может находиться весьма малое время (10^-8 - 10^-12 с) и переходит в состояние с меньшей энергией (не обязательно сразу в основное) с испусканием γ-кванта.

Таким образом, если при -распаде дочернее ядро получается сразу в основном состоянии, то α-частица при этом испускается с наибольшей возможной энергией. Если же дочернее ядро получается в одном из возбужденных состояний, то энергия α-частицы оказывается меньше, но дочернее ядро испускает затем γ-кванты. Сумма энергий γ-квантов, испущенных в этом случае, и энергии α-частицы должна быть, конечно, равна наибольшей энергии, которую может иметь α-частица, испускаемая данным материнским ядром.

Рассмотрим коротко теорию α-распада. По современным представлениям α-частиц в ядре постоянно не существует. Они образуются при встрече движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов, а затем, спустя достаточно короткое время, распадаются на составные части. На образовавшуюся α-частицу, когда она находится внутри ядра, со стороны остальных нуклонов действуют ядерные силы притяжения и со стороны протонов – силы электрического отталкивания. Действия ядерных сил при этом значительно больше электрического отталкивания, иначе α-частица не смогла бы оставаться в ядре и вылетела бы из него после образования через промежуток времени порядка (время, в течение которого α-частица проходит ядро от одного края до другого), т.е. материнское ядро не смогло бы существовать сколько-нибудь продолжительное время. Если же α-частица оказывается вне ядра за границей действия ядерных сил, то на нее действуют лишь силы электрического отталкивания. Эти силы и сообщают α-частицам ту энергию, которая наблюдается у них при α-распаде.

2) Разложение δ – функции в ряд Фурье. Фурье – образ δ – функции.

Известно, что любую функцию f (х), обладающую достаточно хорошим поведением, можно разложить в интеграл Фурье

,

(5)

где фурье-образ этой функции равен

(6)

Оказывается, что в интеграл Фурье можно разложить и δ-функцию:

(7)

откуда видно, что ее фурье-образ равен просто числу:

(8)

Поэтому, с точки зрения теории интеграла Фурье δ-функция является в некотором смысле наиболее простой функцией.

Совершенно формально в справедливости (8), а тем самым и разложения (7), можно убедиться, подставляя в (6) f (х)=δ(х) и используя основное свойство δ-функции (3). Однако с математической точки зрения этот аргумент ни в коей мере нельзя рассматривать как доказательство, которое в действительности является весьма сложным и приводится в курсах теории обобщенных функций.

 

3)

 

Билет №11

1) Применение модели потенциальной ямы к описанию состояния α-частицы внутри α - радиоактивного ядра

Зависимость потенциальной энергии U(r) α - частицы от ее расстояния r до центра ядра показана на рисунке 2. При r < R (R – радиус действия на α - частицу ядерных сил, величина которого близка к радиусу ядра) ход потенциальной энергии приближенно представлен в виде потенциальной ямы с вертикальными стенками. При r > R, когда на α - частицу действуют только силы электрического отталкивания, ход потенциальной энергии определяется формулой для энергии взаимодействия двух точечных электрических зарядов:

 

(1)

Здесь Z – порядковый номер материнского ядра, а - заряд дочернего ядра, электрическое поле которого отталкивает α – частицу, обладающую энергией 2e. Таким образом, потенциальная энергия α – частицы имеет вид барьера, расположенного вокруг ядра, наибольшая высота которого для изотопа урана составляет около 28 Мэв, если радиус области, внутри которой на α – частицу действуют ядерные силы, вычислять по формуле (однако этот радиус несколько больше радиуса ядра, поскольку действие ядерных сил простирается на небольшое расстояние за границы области, где расположены нуклоны). Наличие такого барьера подтверждается опытами по рассеиванию α – частиц на ядрах тяжелых элементов. Согласно этим опытам α – частицы, испускаемые радиоактивными элементами (например, α – частицы с энергией 8,8 Мэв, испускаемые ядрами изотопа полония ), испытывают на ядрах резерфордовское рассеяние, т.е. силы, действующие на α – частицы со стороны ядер, когда они подходят к ядрам снаружи, описываются законом Кулона.

При самопроизвольном распаде ядра α – частица не получает энергии извне. Поэтому ее энергия с при любых значениях r как внутри, так и вне ядра должна быть постоянной (для ядра урана Е = 4,2 Мэв). Чтобы выйти из ядра α – частица должна пройти область значений r от R до R₁, в которой ее потенциальная энергия больше полной и в которой она согласно законам классической механики не может находиться без нарушения закона сохранения энергии. Следовательно, с точки зрения классической механики α – распад объяснить нельзя. Объяснение α - распад получил в квантовой механике, согласно которой имеется некоторая вероятность, что частица пройдет через потенциальный барьер, несмотря на то, что энергии частицы для этого не хватает (это явление, как известно, носит название туннельного эффекта).

2). Для δ – функции Дирака закончить равенства:

1) 2) 3) 4) 5)

Ответы

1)1 2) 3) 4) 5)

 

3).

 

 

Билет №12

1)Применение модели потенциальной ямы для установления формулы связи постоянной радиоактивного распада λ, свойствами ядра и энергией α- частицы в явлении спонтанной α- радиоактивности атомных ядер.

Энергия α - частиц, возникающих при распаде ядер, лежит обычно в пределах от 4 до 8 Мэв, (максимум 10,5 Мэв, минимум 1,8 Мэв). При этом имеется тенденция к уменьшению периода полураспада с увеличением энергии α- частиц. Особенно эта тенденция проявляется при последовательных радиоактивных превращениях в пределах одного и того же радиоактивного семейства (закон Гейгера - Нэттола). Например, энергия α - частиц при распаде урана составляет 4, 58 Мэв, при распаде протактиния - 5,04 Мэв и при распаде полония - 7,36 Мэв (приведены α- частицы с наибольшими энергиями).

Теоретическое обоснование этой закономерности можно пояснить следующим образом. Воспользуемся теорией прохождения частиц через потенциальный барьер и установим связь между постоянной распада λ, свойствами ядра и энергией α – частицы. Предположим для простоты, что α – частица существует в ядре постоянно и движется по радиксу внутри потенциальной ямы, образованной ядерными силами, «ударяясь о стенки этой ямы». Вероятность пройти через потенциальный барьер в единицу времени и оказаться вне ядра для этой частицы должна быть, с одной стороны, пропорциональна числу «попыток», которые предпринимает частица в единицу времени, чтобы выйти из ядра, т.е. числу соударений частицы со стенками ямы за это время. С другой стороны, она пропорциональна коэффициенту D прохождения через барьер, который показывает, какая доля из этих «попыток» может увенчаться успехом. Вероятность появления α - частицы вне ядра и есть вероятность распада. Вероятность же распада в единицу времени равна постоянной распада λ. Таким образом

(1)

За единицу времени α – частица проходит внутри ядра путь, численно равный ее скорости. За это время она испытает столько столкновений со стенками потенциальной ямы, сколько раз в этом пути укладывается диаметр ямы 2R. Следовательно,

(2)

годе -скорость α – частицы внутри ямы. Чтобы найти , обратимся к формуле для энергии первого уровня в одномерной потенциальной яме шириной b: Эта формула выведена из предположения, что энергия частицы отсчитывается от дна ямы. В этом случае полная энергия равна кинетической, т.е. Можно показать, что для сферически симметричной потенциальной ямы b следует заменить на R. Тогда (m – масса α – частицы). Отсюда

(3)

 

Таким образом, число соударений α – частицы со стенками потенциальной ямы в единицу времени равно