Теоретичні відомості про тригонометричні рівняння. Методичні вказівки до виконання роботи.

Тригонометричні рівняння, що зводяться до алгебраїчних за допомогою тотожніх перетворень

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетво­рень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгеб­раїчного.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sin ² х + 4 cos x = 2,75.

Розв'язання

Замінивши sin ² х на 1 - cos²x, матимемо:

1 – cos²x + 4 cos х - 2,75 = 0, - cos ² х + 4 cos х - 1,75 = 0, cos ² х – 4 cos х + 1,75 = 0. – квадратне рівняння відносно косинуса

Нехай cos х = t, тоді t² - 4 t + 1,75 = 0. Звідси t₁ = . t₂ = >1.

Оскільки t₂ > 1, то cos x = — розв'язків немає.

Оскільки t₁ = , то cos х = , х = ± + 2πп, п Z.

Відповідь:± + 2πп, п Z.

Задача №1. Розв’язати рівняння: 2sin² х = 1 + cos х.

 

Тригонометричні рівняння, що розв’язуються розкладанням на множники

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв'язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Розглянемо приклади.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 1 + cos x - 2 cos = 0.

Розв'язання

Врахувавши, що 1 + cos х = 2 cos , матимемо:

2 cos² – 2 cos = 0, 2cos = 0.

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників до­рівнює нулю. Тому:

1) cos = 0; = +π n, n Z; х = π + 2πп, п Z; 2) cos = 1; = 2π n, п Z; х = 4π n, п Z. Відповідь: π + 2πп, 4π n, п Z.

Задача №2. Розв’язати рівняння: sin2 x – 2cos² x = 0.

 

Однорідні тригонометричні рівняння.

3.1.Розглянемо рівняння виду a sin x + bcos x = 0 (однорідне рів­няння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x. Маємо:

atg x + b = 0 tg x = - . x = - arctg + π n, n Z.

 

Задача №3 Розв’язати рівняння cos x - sin x = 0.

 

3.2. Рівняння виду

а _n sinⁿ x + a _n-1 sin^n-1 x cos x +... + a ₁ sin x cos^n-1 x + a ₀ cosⁿ x = 0

називається однорідним рівнянням п-го степеня відносно си­нуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів a_n, а _n-1,..., а ₁, a ₀ не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosⁿx, одержимо рівняння n -го степеня відносно tg x.

 

Задача №4. Розв’язати рівняння: 3sin² x + 3sin x cos x – 2cos² x = 2

Теоретичні відомості про найпростіші тригонометричні нерівності. Методичні вказівки до виконання роботи.

Нерівність називається тригонометричною, якщо вона містить змінну тільки під знаком тригонометричної функції. Наприклад, sin 3 x > 1, cos x + tg x < 1 — тригонометричні нерівності. Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень змінної, при яких нерівність виконується.

Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування нерівностей:

sin x > a, sin x < a, sin x a, sin x а,

cos x > a, cos x < a, cos x a, cos x a,

tg x > a, tg x < a, tg x . a, tg x a,

які називаються найпростішими.

Приклад3. Розв'яжіть нерівність sin t .

Розв'язання

Будуємо одиничне коло (рис. 126) та пряму у = , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Знаходимо на одиничному колі точки, значення ординат яких не менші .

Цими точками є точки дуги АСВ, де А = , В = . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції sin t дорівнює 2π, маємо розв'язок даної нерівності

. Відповідь:

Задача №5. Розв’язати нерівність t+ 1.

Питання для самоперевірки знань і вмінь

1.Які рівняння називаються т ригонометричними?

2. Формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь. Загальні та окремі випадки

3. Які типи тригонометричних рівнянь, що зводяться до найпростіших ви знаєте? Методи їх розв’язування

4.Які нерівності називаються найпростішими тригонометричними? Що означає розв’язати найпростішу тригонометричну нерівність?

 

Висновок. _________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата _____________