Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача оптимального раскроя материалов
На многих промышленных предприятиях при массовом производстве продукции необходимо получить наиболее рациональный раскрой материалов (доски, листы металла, трубы, прокат, рулоны ткани и т.д.).План раскроя считается оптимальным, если он обеспечивает наибольший выход заготовок или наименьший объем отходов. Простейшая постановка задачи об оптимальном раскрое материалов для получения заданного количества заготовок выглядит следующим образом. На предприятие поступают однотипные рулоны материалов. Требуется найти такой план раскроя материалов по ширине, при котором буду наименьшие отходы. Введем обозначения: i – вид заготовки; m – число всех видов заготовок; j – вариант раскроя рулона по ширине, n – число всех вариантов раскроя; необходимое число заготовок i -го вида; число заготовок i -го вида, которое можно получить из одного рулона материала согласно j -му варианту раскроя; отходы материала, полученные из одного рулона материала согласно j -му варианту раскроя; А - общее количество рулонов, имеющихся в наличии; искомое число рулонов, раскраиваемых согласно j -му варианту. Математическая запись модели: (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) это задача линейного программирования, для решения которой можно применить симплекс-метод. Рассмотрим более сложную модель оптимального раскроя партий материалов для изготовления комплектов. На предприятие, изготавливающее комплекты, поступает сырье в виде партий материалов, имеющих свои размеры. Надо получить раскрой материалов, обеспечивающий выпуск максимального числа комплектов. Для формирования модели введем обозначения: s – номер партии материала, S – число всех партий материалов; i – вид заготовки; число заготовок i -го вида, необходимых для одного комплекта; n – число всех комплектов; количество материалов одного размера в одной партии s -го вида; j – номер варианта раскроя; число вариантов раскроя для каждой единицы s -й партии; число заготовок i -го вида, которое можно получить из единицы материала s -й партии согласно j -му варианту раскроя; искомое количество единиц материала s -й партии, раскраиваемых согласно j -му варианту. При раскрое всех партий будет получено заготовок i -го вида. Их достаточно для комплектов.
Поскольку число комплектов минимизируется теми заголовками, которые позволяют составить наименьшее число комплектов, то число полных комплектов равно: Задача состоит в максимизации числа комплектов При условии выполнения плана раскроя заготовок А также неотрицательности компонент Если через z обозначить число комплектов, то сформированная модель сводится к следующей задаче линейного программирования: , (2.30) При ограничениях (2.31) (2.32) (2.33)
2.6. Транспортная задача.
1. Если сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок ,то количество продукции, равное остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1 с потребностью и положим транспортные расходы равными 0 для всех i. 2. Если сумма поданных заявок превышает наличные запасы ,то потребность не может быть покрыта. Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления m+1с запасом и стоимость перевозок из фиксированного пункта отправления во все пункты назначения принять равными нулю.
Рассмотрим пример: Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеет на территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс. тонн. Четыре строительные организации, проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно 300, 600, 650 и 750 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:
Пояснить его проще всего будет на конкретном примере:
Таблица 2.5
В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю. Так, например, в таблице 4
Циклом в транспортной задаче мы будем называть несколько занятых клеток, соединённых замкнутой, ломанной линией,которая в каждой клетке совершает поворот на 90°.
1)
2)
3)
Нетрудно убедиться,что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит,чётное число звеньев(стрелок).Условимся отмечать знаком + те вершины цикла,в которых перевозки необходимо увеличить, а знаком,те вершины,в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть означенным. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу,это значит увеличить перевозки,стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки,стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество.Очевидно,при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется: по прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запасам этой строки,а сумма перевозок в каждом столбце-заявке этого столбца. Таким образом,при любом циклическом переносе,оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым. Стоимость же плана при этом может меняться: увеличиваться или уменьшатся. Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу.Очевидно,цена цикла ровна алгебраической сумме стоимостей,стоящих в вершинах цикла,причём стоящие в положительных вершинах берутся со знаком ` +`,а в отрицательных со знаком` -`. Обозначим цену цикла через γ. При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозок увеличивается на величину γ. При перемещении по нему k единиц груза стоимость перевозок увеличиться на kγ. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Каждый раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение, стоимость плана уменьшается на соответствующую величину kγ. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут.
При улучшении плана циклическими переносами,как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле)заменяют одну свободную переменную на базисную,то есть заполняют одну свободную клетку и взамен того освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остаётся неизменным и равным m+n-1. Этот метод удобен тем,что для него легче находить подходящие циклы.Можно доказать,что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный,одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке,а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла(если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).
в свою очередь каждый из пунктов назначения Bj также вносит за перевозку груза (куда угодно) сумму βj. Эти платежи передаются некоторому третьему лицу(“перевозчику“).Обозначим ai +bj = č ij (i=1..m; j=1..n) и будем называть величину č ij “псевдостоимостью” перевозки единицы груза из Ai в Bj. Заметим,что платежи αi и βj не обязательно должны быть положительными;не исключено,что “перевозчик” сам платит тому или другому пункту какую-то премию за перевозку. Также надо отметить,что суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах (αi и βj) одна и та же и от плана к плану не меняется.
называется потенциальным планом,а соответствующие ему платежи (αi и βj)потенциалами пунктов Ai и Bj (i=1,...,m;j=1,...,n). Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так: Всякий потенциальный план является оптимальным. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений,задаваясь сначала произвольной системой платежей,удовлетворяющей условию(2.35).При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей,равная стоимости перевозок в данной клетке; затем,улучшая план следует одновременно менять систему платежей.Так,что они приближаются к потенциалам.При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей (αi и βj) удовлетворяющая условию (2.35),для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке: γi,j=сi,j - č i,j. Для этого плана можно определить платежи (αi и βj), так,чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие:
Следовательно,одну из этих неизвестных можно задать произвольно(например, равной нулю). После этого из m+n-1 уравнений (2.37) можно найти остальные платежи αi, βj, а по ним вычислить псевдостоимости, č i,j=αi+βj для каждой свободной клетки. Таблица 2.7
=> => => => => => =>
1) Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены m+n-1 базисных клеток (остальные клетки свободные). 2) Определить для этого плана платежи (αi и βj)исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стоимостям.Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю. 3) Подсчитать псевдостоимости č i,j=αi+βj для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален. 4) Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости). 5) После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.
ГЛАВА
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-29; просмотров: 1570; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.234.154.197 (0.077 с.) |