Гамильтонов цикл. Задача коммивояжера.

Гамильтоновы пути и циклы

Гамильтоновым циклом (путем) называют простой цикл (путь), содержащий все вершины графа. В графе, изображенном на рис. 8.1 слева, гамильтоновым циклом является, например, последовательность , , , , , . В графе, изображенном в центре, нет гамильтоновых циклов, но есть гамильтоновы пути, например, . В правом графе нет и гамильтоновых путей.

Рис. 8.1.

Внешне определение гамильтонова цикла похоже на определение эйлерова цикла. Однако есть кардинальное различие в сложности решения соответствующих задач распознавания и построения. Мы видели, что имеется достаточно простой критерий существования эйлерова цикла и эффективный алгоритм его построения. Для гамильтоновых же циклов (и путей) неизвестно никаких просто проверяемых необходимых и достаточных условий их существования, а все известные алгоритмы требуют для некоторых графов перебора большого числа вариантов.

Гамильтонов цикл представляет собой, с комбинаторной точки зрения, просто перестановку вершин графа. При этом в качестве начальной вершины цикла можно выбрать любую вершину, так что можно рассматривать перестановки с фиксированным первым элементом. Самый бесхитростный план поиска гамильтонова цикла состоит в последовательном рассмотрении всех этих перестановок и проверке для каждой из них, представляет ли она цикл в данном графе. Такой способ действий уже при не очень большом числе вершин становится практически неосуществимым ввиду быстрого роста числа перестановок - имеется ! перестановок из элементов с фиксированным первым элементом.

Более рациональный подход состоит в рассмотрении всевозможных простых путей, начинающихся в произвольно выбранной стартовой вершине , до тех пор, пока не будет обнаружен гамильтонов цикл или все возможные пути не будут исследованы. По сути дела, речь тоже идет о переборе перестановок, но значительно сокращенном - если, например, вершина не смежна с вершиной , то все ! перестановок, у которых на первом месте стоит , а на втором , не рассматриваются.

Рассмотрим этот алгоритм подробнее. Будем считать, что граф задан окрестностями вершин: для каждой вершины задано множество вершин, смежных с . На каждом шаге алгоритма имеется уже построенный отрезок пути, он хранится в стеке PATH. Для каждой вершины , входящей в PATH, хранится множество всех вершин, смежных с , которые еще не рассматривались в качестве возможных продолжений пути из вершины . Когда вершина добавляется к пути, множество полагается равным . В дальнейшем рассмотренные вершины удаляются из этого множества. Очередной шаг состоит в исследовании окрестности последней вершины пути PATH. Если и в имеются вершины, не принадлежащие пути, то одна из таких вершин добавляется к пути. В противном случае вершина исключается из стека. Когда после добавления к пути очередной вершины оказывается, что путь содержит все вершины графа, остается проверить, смежны ли первая и последняя вершины пути, и при утвердительном ответе выдать очередной гамильтонов цикл.

Алгоритм 2. Поиск гамильтоновых циклов

1. выбрать произвольно вершину
2. 
3. 
4. while do
5. 
6. if
7. then взять
8. 
9. if вершина не находится в PATH
10. then
11. 
12. if PATH содержит все вершины
13. then if смежна с
14. then выдать цикл
15. else удалить вершину из PATH

 

Этот алгоритм очень похож на алгоритм поиска в глубину и отличается от него по существу только тем, что открытая вершина, когда вся ее окрестность исследована, не закрывается, а опять становится новой (исключается из стека). В начале все вершины новые. Процесс заканчивается, когда все вершины опять станут новыми. На самом деле это и есть поиск в глубину, только не в самом графе, а в дереве путей. Вершинами этого дерева являются всевозможные простые пути, начинающиеся в вершине , а ребро дерева соединяет два пути, один из которых получается из другого добавлением одной вершины в конце. На рис. 8.2 показаны граф и его дерево путей из вершины .

Рис. 8.2.

В худшем случае время работы этого алгоритма тоже растет с факториальной скоростью. Например, для графа (граф с двумя компонентами связности, одна из которых - полный граф с вершиной, другая - изолированная вершина), если в качестве стартовой выбрана не изолированная вершина, то будут рассмотрены все простых путей длины в большой компоненте. Вместе с тем, если перед поиском гамильтонова цикла исходный граф проверить на связность, то ответ будет получен быстро. Можно пойти дальше и при обходе дерева путей поверять на связность каждый встречающийся "остаточный граф", т.е. граф, получающийся из исходного удалением всех вершин рассматриваемого пути. Если этот граф несвязен, то этот путь не может быть продолжен до гамильтонова пути. Поэтому можно не исследовать соответствующую ветвь дерева, а вернуться к рассмотрению более короткого пути, удалив последнюю вершину (т.е. сделать "шаг назад" в поиске в глубину). Можно пойти еще дальше и заметить, что если некоторая вершина DFS-дерева с корнем является развилкой, т.е. имеет не менее двух сыновей, то в подграфе исходного графа, полученном удалением всех предков этой вершины, кроме нее самой, она будет шарниром. Поэтому путь от до в DFS-дереве не может быть продолжен до гамильтонова пути. Эти соображения приводят к следующей модификации алгоритма: обходим граф поиском в глубину с построением DFS-дерева, затем находим в этом дереве самую нижнюю развилку (развилку с наименьшим глубинным номером). Если ни одной развилки нет, то само DFS-дерево представляет собой гамильтонов путь и остается только проверить наличие ребра, соединяющего начало и конец пути. Если же - развилка, то возвращаемся из в предшествующую вершину пути, помечаем все вершины, кроме собственных предков вершины , как непосещенные и возобновляем поиск в глубину с этого места.

Рассмотрим другой алгоритм, выясняющий существование гамильтонова цикла, по сути близкий к поиску в ширину и имеющий не столь быстро (хотя все же быстро) растущую оценку трудоемкости.

Пусть граф задан матрицей смежности . Выберем произвольно стартовую вершину и определим для каждого функцию , где значениями переменной являются вершины, отличные от , а значениями переменной - -элементные подмножества множества , причем вершина не должна принадлежать множеству . Эти функции определяются так: полагаем , если существует простой путь длины из вершины в вершину , проходящий только через вершины из множества , и , если такого пути не существует. Тогда

,

а для

Таким образом, зная все значения функции , мы можем вычислить все значения функции , причем для вычисления одного значения требуется выполнить логических операций. Общее количество логических операций для вычисления всех этих функций составит

После того, как будет вычислена функция , останется только для всех , для которых ( в этом случае определяется однозначно), выяснить, чему равно - если хотя бы в одном случае это 1, то гамильтонов цикл существует. Очевидный недостаток данного алгоритма - необходимость хранения большого количества промежуточной информации.

 

 

55. Раскраска графов. Хроматическое число. Алгоритм раскрашивания

 

56. Планарные графы. Задача укладки графа на поверхность. Примеры планарных графов.

 

 

 

 

Укладка на поверхности

Пусть σ — произвольная поверхность в трехмерном пространстве.

Граф G, изображенный на поверхности σ, называется уложенным на σ, если его ребра не пересекаются в точках, отличных от вершин.

Граф G укладывается на поверхности σ, если он изоморфен некоторому графу, уложенному на σ.

Свойство графа укладываться на поверхности безусловно зависит от вида этой поверхности. Однако многие поверхности с точки зрения укладки графов ничем не отличаются от плоскости. Принципиально важен следующий случай.