КратчайшийОстов.АлгоритмКрускала

Алгоритм Краскала

Идея алгоритма. Искомые ребра соединяют вершины. Поэтому возможны две стратегии построения. Можно идти от вершин и для каждой из них искать минимальное ребро (как это сделано в алгоритме Прима) а можно для каждого ребра выяснять можно ли его включить в строящееся дерево. Алгоритм Краскала предлагает делать это следующим образом. Во-первых, ребра графа пронумеровываем в порядке возрастания весов. Затем для каждого ребра начиная с первого проверяем соединяет или нет оно две несвязные вершины, если да, то его можно включить в остовное дерево. Ясно, что если мы имеем V вершин, то работа алгоритма начинается с V несвязных компонент графа (пока из графа все ребра исключаем). Для того, чтобы их связать необходимо найти V-1 ребро.

Другими словами, алгоритм организует процесс роста компонент связности в процессе которого он объединяются друг с другом до тех пор пока не останется одна являющаяся конечным результатом.

Пример

Изображение	Описание
	Ребра AD и CE имеют минимальный вес, равный 5. Произвольно выбирается ребро AD (выделено на рисунке).
	Теперь наименьший вес, равный 5, имеет ребро CE. Так добавление CE не образует цикла, то выбираем его в качестве второго ребра.
	Аналогично выбираем ребро DF, вес которого равен 6.
	Следующие ребра — AB и BE с весом 7. Произвольно выбирается ребро AB, выделенное на рисунке. Ребро BD выделено красным, так уже существует путь (зеленый) между B и D, поэтому, если бы это ребро было выбрано, то образовался бы цикл ABD.
	Аналогичным образом выбирается ребро BE, вес которого равен 7. На этом этапе красным выделено гораздо больше ребер: BC, потому что оно создаст цикл BCE, DE, потому что оно создаст цикл DEBA, и FE, потому что оно сформирует цикл FEBAD.
	Алгоритм завершается добавлением ребра EG с весом 9. Минимальное остовное дерево построено.

 

КратчайшийОстов.АлгоритмПрима

Алгоритм Прима

Сам алгоритм имеет очень простой вид. Искомый минимальный остов строится постепенно, добавлением в него рёбер по одному. Изначально остов полагается состоящим из единственной вершины (её можно выбрать произвольно). Затем выбирается ребро минимального веса, исходящее из этой вершины, и добавляется в минимальный остов. После этого остов содержит уже две вершины, и теперь ищется и добавляется ребро минимального веса, имеющее один конец в одной из двух выбранных вершин, а другой — наоборот, во всех остальных, кроме этих двух. И так далее, т.е. всякий раз ищется минимальное по весу ребро, один конец которого — уже взятая в остов вершина, а другой конец — ещё не взятая, и это ребро добавляется в остов (если таких рёбер несколько, можно взять любое). Этот процесс повторяется до тех пор, пока остов не станет содержать все вершины (или, что то же самое, ребро).

В итоге будет построен остов, являющийся минимальным. Если граф был изначально не связен, то остов найден не будет (количество выбранных рёбер останется меньше ).

 

Изображение	Множество выбранных вершин U	Ребро (u,v)	Множество невыбранных вершин V \ U	Описание
	{}		{A,B,C,D,E,F,G}	Исходный взвешенный граф. Числа возле ребер показывают их веса, которые можно рассматривать как расстояния между вершинами.
	{D}	(D,A) = 5 V (D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6	{A,B,C,E,F,G}	В качестве начальной произвольно выбирается вершина D. Каждая из вершин A, B, Eand F соединина с D единственным ребром. Вершина A — ближайшая к D, и выбирается как вторая вершина вместе с ребром AD.
	{A,D}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6 V (A,B) = 7	{B,C,E,F,G}	Следующая вершина — ближайшая к любой из выбранных вершин D или A. B удалена от D на 9 и от A — на 7. Расстояние до E равно 15, а до F — 6. F является ближайшей вершиной, поэтому она включается в дерево F вместе с ребром DF.
	{A,D,F}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (A,B) = 7 V (F,E) = 8 (F,G) = 11	{B,C,E,G}	Аналогичным образом выбирается вершина B, удаленная от A на 7.
	{A,B,D,F}	(B,C) = 8 (B,E) = 7 V (D,B) = 9 cycle (D,E) = 15 (F,E) = 8 (F,G) = 11	{C,E,G}	В этом случае есть возможность выбрать либо C, либо E, либо G. C удалена от B на 8,E удалена от B на 7, а G удалена от F на 11. E — ближайшая вершина, поэтому выбирается E и ребро BE.
	{A,B,D,E,F}	(B,C) = 8 (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,C) = 5 V (E,G) = 9 (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{C,G}	Здесь доступны только вершины C и G. Расстояние от E до C равно 5, а до G — 9. Выбирается вершина C и ребро EC.
	{A,B,C,D,E,F}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,G) = 9 V (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{G}	Единственная оставшаяся вершина — G. Расстояние от F до нее равно 11, от E — 9. Eближе, поэтому выбирается вершина G и ребро EG.
	{A,B,C,D,E,F,G}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11 цикл	{}	Выбраны все вершины, минимальное остовное дерево построено (выделено зеленым). В этом случае его вес равен 39.