Морфизмы. Гомоморфизмы. Изоморфизмы.

Гомоморфизм - это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы , . Отображение называется гомоморфизмом групп и , если оно одну групповую операцию переводит в другую: .

 

Пусть и — поля. Биекция называется изоморфизмом, если для любых выполняется

1. ,

2. .

17.Алгебры с одной операцией. Полугруппы. Моноиды

Группа. Основные свойства групп. Группа перестановок.

Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой , если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: ;

наличие нейтрального элемента:

;

наличие обратного элемента:

 

Примеры

§ Целые числа с операцией сложения. группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

§ Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

Простейшие свойства

§ Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

§ (a ⁻¹)⁻¹ = a, a^maⁿ = a^{m + n} , (a^m) ⁿ = a^mn.

§ (ab)⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹.

§ Верны законы сокращения:

,

.

§ Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

§ Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

§ Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

§ Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g ₁ любой её подгруппы G ₁ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

§ Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

 

Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X → X) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S (X). Если X = {1, 2,…, n }, то S (X) также обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:

для всех x из X.

Свойства

§ При симметрическая группа S_n некоммутативна.

§ При симметрическая группа S_n является неразрешимой (и напротив: при — разрешимой).

§ В случае, если X конечно, число элементов S (X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности,

§ Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S (G) (теорема Кэли).

§ Симметрическая группа S_n допускает следующее задание:

(Можно считать, что переставляет i и i +1.)

 

Кольца. Области целостности. Поля.