Макротранспортное уравнение переноса в тонком кишечнике

Перейдем к формулировке макротранспортной модели транспорта в тонком кишечнике. Пусть x – координата вдоль оси тонкого кишечника. Обозначим усредненные по поперечному сечению кишечника величины чертой сверху. Одномерное конвективно-диффузионно-реактивное уравнение транспорта имеет вид:

(6)

Здесь , и – соответственно, макроскопическая аксиальная скорость вещества в полости кишечника, макроскопический коэффициент дисперсии и средняя скорость исчезновения вещества (вследствие всасывания/распада). Поле концентрации удовлетворяет граничным условиям

, (7)

что подразумевает преобладание конвекции над диффузией на входе в двенадцатиперстную кишку и на выходе из подвздошной кишки. Начальное условие для уравнения транспорта берется из модели опорожнения желудка дискретным образом (численная аппроксимация уравнения (7) остается прежней, хотя, математически строго, при втекании вещества в тонкий кишечник ). Упрощенное начальное условие (если модель опорожнения желудка отсутствует) может быть выбрано следующим образом:

. (8)

Такое условие подразумевает, что некоторое количество вещества вводится в двенадцатиперстную кишку в форме комка длиной l и средней по сечению концентрацией c ₀ вдоль своей длины (δ – маленькое положительное число). Появление фиктивного коэффициента объяснено в [12] (оно необходимо для того, чтобы одномерная аппроксимация транспортного процесса имела силу и на коротких временах, на которых исходный макротранспортный подход не имеет обоснования).

Макротранспортные коэффициенты (, , , ) содержат в себе всю существенную биофизику задачи о всасывании. Зная их величины, можно проинтегрировать макротранспортное уравнение по пространству и времени и получить выражение для полной массы вещества , находящейся в полости кишечника в данный момент времени:

. (9)

В силу граничных условий (7) при интегрировании исчезают диффузионные члены.

Уменьшение массы вещества в кишечнике может возникать в силу трех основных механизмов. Второй член в правой части уравнения (9) описывает уменьшение массы из-за вытекания вещества из подвздошной кишки. Первый член учитывает всасывание и распад. Скорости всасывания и распада вещества могут быть выражены в виде и соответственно, где . Скорость всасывания массы используется моделью кровообращения, простейший вариант которой использовался в данной работе для установки соответствия экспериментальных данных с результатами моделирования.

Для выражения взаимосвязи микро- и макро-свойств процесса кишечного всасывания удобно ввести полезную безразмерную величину – мембранное микроскопическое число Дамкёлера . Оно выражает отношение скорости всасывания к скорости эффективной диффузии в полости, показывая, который из процессов является главным препятствием к всасыванию – проницаемость эпителиальных клеток (Da_m << 1) или эффективная диффузия к всасывающей поверхности (Da_m >> 1).

Пусть β ₀ – нулевой (наименьший положительный) корень трансцендентного уравнения:

, (10)

где J обозначает функции Бесселя первого рода соответствующих порядков.

Применяя макротранспортную парадигму [12] для цилиндрической трубы с пуазейлевским профилем течения раствора, с происходящей в объеме жидкости реакцией (скорость K_D) и реакцией на поверхности (скорость K_A), мы получим явные выражения для макротранспортных коэффициентов, как функции от β ₀, а значит и как функции от числа Дамкёлера:

; (11)

; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

(~1 во всех случаях). (16)

В вышеприведенных выражениях использовались вспомогательные функции:

; (17)

; (18)

. (19)