Моделирование транспорта и всасывания в тонком кишечнике

Большое число работ в зарубежной литературе ([29], [30], [18]) посвящено исследованию всасывающих свойств эпителиальных клеток и их зависимости от различного рода факторов. Одно из таких свойств – проницаемость мембраны для того или иного вещества. Проницаемость мембраны – очень важный параметр, показывающий, в какой мере стенка кишечника является барьером к всасыванию вещества. Очень популярным методом in vitro получения значений проницаемости мембраны является выращивание однослойных клеточных структур Caco-2 (carcinoma colon cell monolayers). Сначала измеряется проницаемость таких клеток, а затем проводятся исследования для установления ее соответствия мембранной проницаемости in vivo. Такие работы могут служить источником биохимических параметров для различных моделей желудочно-кишечного тракта, в том числе и для модели, представленной в настоящей работе.

Другим фактором, влияющие на всасывание в стенке кишечника, которому также посвящено много зарубежных работ, является неперемешивающийся водный слой (UWL, unstirred water layer) ([17], [31]), являющийся частью слизистой оболочки стенки кишечника. Водный слой является препятствием к всасыванию плохо растворимых в воде веществ, поскольку молекулы такого вещества, прежде чем достичь поверхности всасывающих эпителиальных клеток должны диффундировать через этот слой. В различных работах наблюдаемая величина неперемешивающегося слоя колеблется в пределах 100 – 1000 мкм.

Во многих работах упоминается коэффициент распределения вещества (или коэффициент липофильности), который является отношением равновесных концентраций вещества в водной и в липидной фазе (определяя меру липофильности молекул этого вещества). Этот коэффициент используется в некоторых работах ([28], [32]) для расчета граничных условий для уравнений транспорта в стенке кишечника. Поскольку эпителиальная мембрана находится в липидной фазе и она граничит с водной фазой слизистой оболочки, концентрация молекул, прошедших в стенку кишечника через границу раздела, равна произведению концентрации в водной фазе и коэффициента распределения. Существуют способы лабораторного измерения коэффициента распределения для изучаемых веществ.

Транспорт вдоль кишечника в литературе описывается различными способами. Широко распространены компартментные модели, в которых каждый компартмент (отдел) представляет собой «ящик», в котором действуют математические законы (как правило, некий реактор), входы и выходы которого могут быть соединены с другими компартментами. Поскольку такие модели являются в большой степени имитационными, они не обладают сколько-нибудь выраженной универсальностью. Однако, бывают случаи, когда даже такие простые модели позволяют давать вполне адекватное соответствие опытным данным.

Примером такой модели может служить N -компартментная модель транспорта и всасывания в тонком кишечнике, объясняющая появление двойных пиков в профиле концентрации некоторых веществ, представленная на рисунке (см. рисунок 2). Помимо N компартментов , отвечающих частям кишечника, присутствуют еще два компартмента, моделирующие нахождение вещества в плазме крови (двухкомпартментная модель). Взаимодействие модели кишечника и модели эволюции вещества в плазме происходит посредством параметров K _a1 и K _a2, которые являются скоростями всасывания из второго и N -ого отделов соответственно. Таким образом, всасывание в кровь происходит только в двух областях кишечника, разделенными частью кишечника, непроницаемой для данного вещества. Это позволяет в результате получить профиль концентрации в плазме, который имеет два пика.

Рисунок 2. Пример многокомпартментной модели всасывания в тонком кишечнике
для объяснения двойного пика в профиле концентрации. Взято из [21].

Физически более обоснованный подход к транспорту веществ вдоль кишечника можно найти в работах [5], [6], [7], [28], в которых тонкий кишечник представлен в виде цилиндрической трубы, в которой происходит конвекция, диффузия и реакция веществ. Данный подход используется и в настоящей работе, более подробно он описан в разделе 3.1.

Существуют работы, которые нацелены на более детальное описание биомеханического транспорта в кишечнике ([8], [9]), изучающие перистальтическое продвижение химуса и различные аспекты этого продвижения. Так, в работе [8] произведено исследование влияния перистальтической волны на продвижение и перемешивание содержимого кишечника. Вычислены сдвиговые и нормальные напряжения на стенки кишечника, построено поле скоростей в потоке, установлен факт его зависимости от скорости перистальтической волны и других параметров и граничных условий. В найденном поле скоростей обнаружен реверсивный поток, направленный в сторону, обратную направлению движения перистальтической волны, демонстрируя эффективный механизм перемешивания в тонком кишечнике. Несомненно, подобного рода модели находятся гораздо ближе к реальности, чем стандартные трубчатые модели, акцентирующие внимание на конвективный перенос и явно не рассматривающие перистальтику, однако возникающее при этом количество дополнительных параметров модели, которое необходимо знать до начала расчетов, значительно увеличивается, причем большинство этих параметров довольно трудно рассчитать. Например, работы по измерению напряжений в стенке кишечника в различных состояниях последнего [33] ведутся до сих пор.

Наконец, существуют работы ([34], [35]), особенно подчеркивающие гетерогенное и в некотором смысле фрактальное строение тонкого кишечника (присутствие складок на стенках, ворсинок на складках, и микроворсинок на ворсинках – см. раздел 4.1 – действительно напоминает фрактальную структуру). Основная идея заключается в том, чтобы принять во внимание геометрические ограничения, накладываемые гетерогенной структурой и функциональностью тонкого кишечника. Такие условия сильно влияют на процесс диффузии, радикально изменяя его свойства. Например, в евклидовом пространстве для случайного движения броуновской частицы среднеквадратичное смещение дается уравнением

, (3)

в то время как в неупорядоченной среде

, (4)

где D_W - это фрактальная размерность движения (нецелое число).

Кроме того, в средах с несовершенным перемешиванием реакции происходят в пространствах более низких размерностей, чем сама система, и «константы» реакции (скорости) зависят от времени. Таким образом, перенос, растворение и всасывание веществ в гетерогенном желудочно-кишечном тракте может подчиняться принципам фрактальной кинетики, когда, например, скорость всасывания подчиняется следующему уравнению

, (5)

где k ₁ - константа, а h ≠ 0. Использование подобных зависимостей значительно усложняет моделирование системы как целого, однако является достаточно перспективным для описания переноса и всасывания лекарств, трудно растворимых и обнаруживающих существенные геометрические ограничения при переносе в полости кишечника.

Обзор аналогичных работ

Две основные работы, являющиеся в некотором смысле аналогами данной – это [5] и [28]. В первой было впервые предложено использовать макротранспортную теорию для математически обоснованного описания переноса и всасывания в тонком кишечнике человека и некоторых животных. Такая модель позволяет не только найти профили концентрации веществ в плазме, но и пространственно-временной профиль усредненной по сечению концентрации вещества в полости тонкого кишечника. Тем не менее, в работе [5] было замечено некорректное определение неизвестных биохимических параметров (в частности, параметра эффективной диффузии вещества в полости кишечника), что приводило к несоответствию с экспериментом (соответствие с экспериментом устанавливалось при других параметрах). Кроме того, в работе [5] не рассматривалась модель желудка, что ограничивало модель рассмотрением только случаев прямого введения вещества в двенадцатиперстную кишку. И, наконец, использование некоторых дополнительных параметров (характеризующих перистальтическое перемешивание), оказалось бессмысленным в силу их влияния на некорректно определяемый параметр. В настоящей работе исправлен подход к идентификации биохимических параметров – неизвестными объявляются четыре, а не два параметра – что сразу позволяет обнаружить ненужность некоторых параметров исходной модели. Также была добавлена эмпирическая модель опорожнения желудка, что расширило область применения модели.

Во второй работе ([28]) рассматривается транспорт в кишечнике, сопряженный с моделью желудка – неидеального CSTR-реактора (см. раздел 2.1). Построенная математическая модель включает обыкновенные дифференциальные уравнения для опорожнения желудка, уравнение конвективно-реактивного переноса в полости тонкого кишечника и диффузионно-реактивное уравнение всасывания в стенке кишечника. Большим преимуществом такой модели является возможность получения ее аналитического решения (в виде быстро сходящегося ряда Фурье), однако результаты, полученные с помощью нее, имеют скорее качественный, а не количественный характер (так, в работе не было произведено сравнение результатов с какими-либо опытными данными). Кроме того, перенос вдоль кишечника не учитывает аксиальный разброс частиц вещества вследствие конвективной диффузии в потоке несущей жидкости (которая существенно выражена в кишечнике человека – см. раздел 6.2). Рассмотрение только диффузионно-реактивного переноса вещества в стенке кишечника не охватывает всех возможных механизмов транспорта молекул через эпителий, что также ограничивает применимость модели. Модель, представленная в настоящей работе, лишена этих недостатков – макротранспортный подход учитывает эффект конвективной диффузии, а транспорт через эпителиальную мембрану описывается коэффициентом, включающим вклад от всех возможных механизмов транспорта.

Методика решения задачи

Общая структура модели

Схематически структура модели представлена на рисунке (см. рисунок 3).

Рисунок 3. Схематическая структура модели.

Модели опорожнения желудка и распада в кровеносной системе являются сосредоточенными, и подробно описаны в соответствующих разделах (5.3 и 4.5 соответственно). Здесь остановимся подробнее на пространственно распределенной модели тонкого кишечника.

Кишечник представлен в виде цилиндрической трубы, по которой течет ньютоновская жидкость (и, соответственно, имеет пуазейлевский профиль). Эта жидкость является растворителем для частиц рассматриваемого вещества; таким образом, задача описания транспорта вдоль кишечника заменяется задачей описания течения раствора в цилиндрической трубе. Такая задача может быть решена в терминах усредненной по поперечному сечению концентрации раствора. В объеме несущей жидкости происходит реакция первого порядка (перемешивание считаем идеальным),а на поверхности трубы происходит каталитическая поверхностная реакция. Описание течения раствора в такой системе можно провести в рамках макротранспортной теории [12], когда динамика усредненной по сечению концентрации раствора подчиняется конвективно-диффузионно-реактивному уравнению, причем коэффициенты скорости, диффузии и скорости реакции вычисляются исходя из соответствующей макротранспортной парадигмы.

Входными данными для модели желудка является исходная масса вещества M ₀, а выходными – – массовая скорость опорожнения желудка (индекс out обозначает выход из желудка). Входными данными для кишечника является: в случае присутствия модели желудка – массовая скорость втекающего вещества (равная массовой скорости опорожнения желудка ), а в случае введения вещества прямо в двенадцатиперстную кишку – исходная масса вещества M ₀. Следующие величины входят в разряд выходных данных модели тонкого кишечника:

· пространственно-временной профиль усредненной по поперечному сечению концентрации вещества в полости кишечника;

· профиль массы вещества M (t), находящейся в полости кишечника;

· профиль массы вещества M_D (t), исчезнувшей из полости вследствие всасывания или распада;

· профиль массы вещества M_out (t), вышедшей из тонкого кишечника вследствие конвекции (таким образом, M (t) + M _D(t) + M_out (t) = M ₀);

· массовый поток вещества , всасываемого из полости в кровь.

Последняя выходная величина служит входной для модели распада в кровеносной системе, которая на выходе дает временной профиль массы m (t) и концентрации c (t) вещества в плазме крови. Кривая c (t) может быть сопоставлена экспериментальным точкам, полученным для соответствующего вещества.

Предположения модели

Как уже было отмечено в разделе 1, основные допущения в настоящей работе делаются относительно структуры желудочно-кишечного тракта. Как известно, ЖКТ состоит из следующих основных отделов: ротовая полость, пищевод, желудок, тонкий кишечник и толстый кишечник. Из этих отделов рассматриваются только два: желудок и тонкий кишечник. Остальные отделы выбрасываются из рассмотрения как не имеющие существенного влияния на процессы всасывания большинства веществ (подавляющее большинство веществ всасывается в тонком кишечнике), кроме того, добавление дополнительных отделов ЖКТ в данном случае лишь усложняет модель, почти не увеличивая точность общих результатов.

Допущения, принятые в модели тонкого кишечника, включают:

· равномерность всасывающих свойств вдоль всех отделов тонкого кишечника (двенадцатиперстной кишки, тощей кишки и подвздошной кишки);

· отсутствие радиальных потоков воды (данное допущение будет оправдано ниже, в разделе 6.4);

· рассмотрение только активного транспорта (отсутствие секреции вещества из крови в полость кишечника).

Перечисленные предположения имеют существенное значение для возможности применить макротранспортную теорию при описании транспорта в тонком кишечнике.

К ограничениям модели, вытекающим из сделанных допущений, можно отнести ее неспособность описывать всасывание веществ, которые имеют в профиле концентрации в плазме не один, а два пика [21, 22, 23], что объясняется, в основном, различием всасывающих свойств в различных отделах кишечника [24]. Также в модели не предусмотрено описание механизма обратного всасывания (секреции) веществ из крови в тонкий кишечник, и совсем не рассматривается транспорт воды через стенку кишечника [25].

Помимо этого, для описания эволюции концентрации веществ в кровеносной системе была использована простейшая однокомпартментная фармакокинетическая модель (см. раздел 4.5), с одной стороны являющаяся достаточно простой и понятной, с другой стороны позволяющая получить довольно хорошие результаты. Тем не менее, нет никаких препятствий к ее замене более сложной моделью, если это необходимо.