Точные оценки числовых характеристик

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных величин изображается точкой на числовой оси наз. точечным. Отличии от самих числовых характеристик – оценки являются случайными.

Оценки должны удовлетворять 3-м требованиям:

1) Быть состоятельными

2) Несмещёнными

3) Эффективными

Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике.

Несмещённой является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещённых оценок, которые имеют наименьшее распределение. Рассмотрим n-независимых значений Qi, полученное при измерении физической величины постоянного размера:

Пусть каждое из них отличается от среднего на случайное отклонение di.

Сложим между собой левые правые части и разделим на n: , n®¥.

При n®¥:

Среднее арифметическое значение результата измерения равно и сходится к при любом законе распределения вероятности результата измерения. И может служить состоятельной точечной оценкой среднего значения.

Математическое ожидание среднего значения:

Поэтому ср. арифметическое при любом законе распределения вероятности является не только состоятельной, но и несмещенной оценкой ср. значения. Этим обеспечивается правильность измерения.

Точность результата многократного измерения зависит от эффективности оценки среднего значения. Чем она эффективнее (меньше рассеивание), тем выше точность. Критерии эффективности могут быть разными.

При нормальном законе распределения вероятности наиболее часто используется показатель эффективности, как сумма квадратов отношений от среднего значения. Чем меньше показатель, тем эффективнее оценка. Это позволяет поставить задачу отыскания ср. знач. по наиболее эффективному критерию. Такая задача наз. – задача синтеза оптимальной оценки ср. значения, а метод – метод наименьших квадратов. Исследуем функции в левой части выражения на экстремум. Она достигает минимума при производной равной 0.

После возведения в квадрат и, почленно дифференцируя, получим:

Если в качестве оценки среднего арифметического выбрать среднее арифметическое по n-значений, то равенство равно 0.

Будет выполняться при n®¥ в силу состоятельности этой оценки. Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельным и несмещённой, но и наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов, точечной оценкой среднего значения результата измерения.

В качестве точечной оценки дисперсии по аналогии со средним арифметическим можно взять:

При любом законе распределения вероятностей – эта оценка является состоятельной т.к. при n®¥ второе слагаемое правой части ®0, а первое s²_Q.

Но математическое ожидание:

Т.е. такая оценка является смещённой. Несмещенную оценку можно получить умножив на коэффициент , при n®¥ этот коэффициент ®1.

Так что несмещенная точечная оценка дисперсии при любом законе распределения вероятности является состоятельной

, а корень из неё называется стандартным отклонением: , ()

Оценив среднее значение () и ср. кв. отклонение результата измерения (s_Q) можно в место этих числовых характеристик использовать очечные оценки по правилу 3-х сигм не является сомнительным результатом – ошибочным.

Если окажется, что он отличается от среднего арифметического больше чем на 3S_Q, то его следует отбросить. После этого засчитаем значение среднее арифметическое и стандартное отклонение.

Пример

15 независимых численных значений изменения температуры по шкале приведены во 2-ой графе

№
	20,42	0,016	0,000256	…	…
		0,026	…
		-0,004
		0,026
		-0,016
		0,026
		-0,014
		-0,104
…	…	…	…	…	…
		-0,004

Проверить, не допущено ли ошибок?

Решение:

1.Среднее арифметическое результатов измерений

2.При определении стандартного отклонения воспользуемся вспомогательными вычислениями, приведенными в 3-ей и 4-ой графе

3.Больше чем на 3 равное 0,099. От среднего арифметического отличается 8-ое значение. Следовательно оно является ошибочным и должно быть отброшено. Без 8-го значения: =20,411

Результаты вспомогательных вычислений в 5-ом и 6-ом столбцах позволяют высчитать новое стандартное отклонение: =0,016.

Ни одно из оставшихся значений не отличается от среднего арифметического больше чем на 3 =0,048. Можно, следовательно, считать, что ошибок нет.

Универсальный метод отыскания эффективных оценок числовых характеристик любых законов распределения вероятностей случайных величин был разработан Фишером. Он называется метод максимального правдоподобия.

Сущность метода:

Многомерная плотность распределения вероятности системы случайных значений рассматривается как функция числовых характеристик закона распределения вероятности . Эта функция называется функцией правдоподобия. Она включает в себя еще оценки. Она показывает на сколько то или иное значение каждой числовой характеристики более правдоподобно, чем другие.

Функция правдоподобия достигает максимума при значениях переменных, являющихся их наиболее эффективными оценками.

Последние находятся из условия:

, и т.д.

Для простоты решения функцию логарифмирует.