Глава 4. Введение в теорию движения твердого тела с одной неподвижной точкой и свободного движения твердого тела

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ И СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

При изучении данной главы настоятельно рекомендуется периодически возвращаться к материалу главы 2, где рассматривалось вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Внимательный читатель найдет много аналогий не только в терминологии, но в самих рабочих формулах, описывающих оба вида движения. Тем самым облегчится процесс не только понимания нового материала, но и его запоминания.

 

Теорема Эйлера. Всякое движение твердого тела с одной неподвижной точкой – это последовательность элементарных поворотов тела относительно мгновенных осей вращения.

Понятие о мгновенной оси вращения введено Аламбером в 1749г и Эйлером в 1750г.

 

 

Пример 4.1. В качестве примера существования мгновенной оси вращения можно привести случай качения без скольжения кругового конуса с неподвижной вершиной по горизонтальной неподвижной плоскости (см. рис. к примеру). Очевидно, что точки конуса, касающиеся по прямой плоскости, имеют линейные скорости равные нулю. Следовательно, эта образующая конуса в этот момент времени является мгновенной осью вращения .

Скорость изменения вектора угловой скорости характеризуется вектором углового ускорения .

 

. (4.3)

 

Чтобы определить направление вектора вспомним формулу (1.13) для вектора линейной скорости точки.

(1.13)

Было установлено, что вектор скорости направлен по касательной к годографу радиуса-вектора точки. Поскольку между формулами (4.3) и (1.13) существует полная математическая аналогия, можно утверждать, что

4.6. Вектор углового ускорения направлен по касательной к годографу вектора угловой скорости , как показано на рис.4.3.

На практике вектор углового ускорения принято параллельно самому себе переносить и прикладывать в неподвижной точке , как показано на рис. 4.4. Итак, кинематические характеристики сферического движения твердого тела – закон движения (4.1), вектор мгновенной угловой скорости (4.2) и вектор мгновенного углового ускорения (4.3) определены. Переходим к определению движения отдельных точек тела.

Замечание. Годограф радиус-вектора точки имеет механический смысл – это траектория точки, годограф вектора механического смысла не имеет, это просто пространственная кривая, которую описывает конец вектора .

 

Свободное движение тела

Тело, которому можно придать любое перемещение в пространстве из занимаемого им положения называется свободным телом.

Свободным движением тела называется движение свободного тела.

Теорема Ривальса для свободного движения тела. Вектор полного ускорения любой точки твердого тела при его свободном движении равен геометрической сумме вектора ускорения полюса, вектора осестремительного и вектора вращательного ускорений.

или , (4.20)

 

где , (4.21)

Доказательство. Продифференцируем (4.19) по времени. С учетом формулы (4.3) получим:

Или с учетом (4.18) . Что и требовалось доказать.

 

Вопросы для самоконтроля к главе 4

1.Какое движение твердого тела называется сферическим?

2. Запишите уравнения сферического движения тела.

3. Опишите механизм сферического движения твердого тела.

4. Что называется мгновенной осью вращения и мгновенной угловой скоростью вращения тела при сферическом движении?

5. Запишите формулу для вектора линейной скорости точки тела, совершающего сферическое движение.

6. Как направлен вектор линейной скорости точки при сферическом движении тела?

7. Запишите формулу для вектора линейного ускорения точки тела, совершающего сферическое движение.

8. Как направлены векторы вращательного и осестремительного ускорений точки при сферическом движении?

9. Какое движение твердого тела называется свободным?

10. Запишите уравнения свободного движения тела.

11. Проанализируйте уравнения свободного движения тела и опишите механизм свободного движения твердого тела.

13. Что называется вектором мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения тела при его свободном движении?

13. Запишите формулу для вектора скорости произвольной точки тела, совершающего свободное движение.

14. Сформулируйте теорему Ривальса об ускорении точки при свободном движении тела.

 

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ И СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

При изучении данной главы настоятельно рекомендуется периодически возвращаться к материалу главы 2, где рассматривалось вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Внимательный читатель найдет много аналогий не только в терминологии, но в самих рабочих формулах, описывающих оба вида движения. Тем самым облегчится процесс не только понимания нового материала, но и его запоминания.