Линеаризованная теория тонкого профиля

В докритическом потоке

 

Рассмотрим обтекание тонкого профиля при малом угле атаки. Течение сжимаемого газа около такого профиля можно исследовать с помощью дифференциального уравнения (5.8), линеаризованного методом малых возмущений:

.

 

Это уравнение во всей области течения будет эллиптического типа. К этому же типу относится и уравнение Лапласа (для несжимаемой жидкости). Уравнение (5.8) отличается от уравнения Лапласа только множителем при первом члене, поэтому вполне правомерен вопрос о возможности сведения задачи об обтекании профиля потоком сжимаемой жидкости к задаче обтекания некоторого профиля другой формы потоком несжимаемой жидкости. Приведем уравнение (5.8) к виду уравнения Лапласа. Произведем замену переменных .

Тогда и , ,

 

,

т. е.

.

 

После подстановки исходное дифференциальное уравнение сводится к уравнению , которое и является уравнением Лапласа.

Уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал скорости потока несжимаемой жидкости. Определив потенциал скорости потока несжимаемой жидкости, через замену переменных и получим скорость потока сжимаемой жидкости.

При переходе от переменных к изменяется форма профиля. Допустим, что в плоскости XОY расположен тонкий профиль с хордой , направленной вдоль оси Х. Профиль обтекает под малым углом атаки потоком сжимаемой среды со скоростью (рис. 8.7). В таком случае в плоскости будет какой-то другой профиль с той же хордой (), но обтекаемый потоком несжимаемой жидкости со скоростью при угле атаки .

X

Y

Рассмотрим изменение скоростей в системе координат в направлении координатных осей. Так как и , то и . То есть составляющая скорости по оси X не изменяется, а по оси Y увеличивается в отношении . Это означает увеличение углов наклона касательной к линии тока с осью X, величину которых можно оценить через отношение . Следовательно, в этом же отношении увеличивается и угол атаки , т. е. .

Это же говорит и о том, что исходный контур утолщается, а максимальная толщина профиля в несжимаемой среде становится равной

 

.

 

Таким образом, можно считать, что тонкому профилю в сжимаемой среде соответствует утолщенный профиль в несжимаемой жидкости, обтекаемый под большим углом атаки.

Увеличение угла атаки с одновременным утолщением профиля приводит к увеличению коэффициента подъемной силы профиля . Следовательно, при известном значении коэффициента подъемной силы профиля в несжимаемом газе , коэффициент подъемной силы профиля в сжимаемом газе для данного угла атаки при малых скоростях обтекания находится как

(8.1)

по аналогии, и коэффициент момента .

Коэффициент называют поправкой на сжимаемость Прандтля–Глауэрта, а рассмотренный метод учета влияния сжимаемости на аэродинамические характеристики профиля – методом Прандтля–Глауэрта.