Рассмотрим основные геометрические характеристики профиля.

Линеаризованная теория тонкого профиля

В докритическом потоке

 

Рассмотрим обтекание тонкого профиля при малом угле атаки. Течение сжимаемого газа около такого профиля можно исследовать с помощью дифференциального уравнения (5.8), линеаризованного методом малых возмущений:

.

 

Это уравнение во всей области течения будет эллиптического типа. К этому же типу относится и уравнение Лапласа (для несжимаемой жидкости). Уравнение (5.8) отличается от уравнения Лапласа только множителем при первом члене, поэтому вполне правомерен вопрос о возможности сведения задачи об обтекании профиля потоком сжимаемой жидкости к задаче обтекания некоторого профиля другой формы потоком несжимаемой жидкости. Приведем уравнение (5.8) к виду уравнения Лапласа. Произведем замену переменных .

Тогда и , ,

 

,

т. е.

.

 

После подстановки исходное дифференциальное уравнение сводится к уравнению , которое и является уравнением Лапласа.

Уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал скорости потока несжимаемой жидкости. Определив потенциал скорости потока несжимаемой жидкости, через замену переменных и получим скорость потока сжимаемой жидкости.

При переходе от переменных к изменяется форма профиля. Допустим, что в плоскости XОY расположен тонкий профиль с хордой , направленной вдоль оси Х. Профиль обтекает под малым углом атаки потоком сжимаемой среды со скоростью (рис. 8.7). В таком случае в плоскости будет какой-то другой профиль с той же хордой (), но обтекаемый потоком несжимаемой жидкости со скоростью при угле атаки .

X

Y

Рассмотрим изменение скоростей в системе координат в направлении координатных осей. Так как и , то и . То есть составляющая скорости по оси X не изменяется, а по оси Y увеличивается в отношении . Это означает увеличение углов наклона касательной к линии тока с осью X, величину которых можно оценить через отношение . Следовательно, в этом же отношении увеличивается и угол атаки , т. е. .

Это же говорит и о том, что исходный контур утолщается, а максимальная толщина профиля в несжимаемой среде становится равной

 

.

 

Таким образом, можно считать, что тонкому профилю в сжимаемой среде соответствует утолщенный профиль в несжимаемой жидкости, обтекаемый под большим углом атаки.

Увеличение угла атаки с одновременным утолщением профиля приводит к увеличению коэффициента подъемной силы профиля . Следовательно, при известном значении коэффициента подъемной силы профиля в несжимаемом газе , коэффициент подъемной силы профиля в сжимаемом газе для данного угла атаки при малых скоростях обтекания находится как

(8.1)

по аналогии, и коэффициент момента .

Коэффициент называют поправкой на сжимаемость Прандтля–Глауэрта, а рассмотренный метод учета влияния сжимаемости на аэродинамические характеристики профиля – методом Прандтля–Глауэрта.

 

 

Волновое сопротивление

 

Рассмотрим обтекание профиля при числах Маха . В этом диапазоне чисел возникают зоны местных сверхзвуковых скоростей, замыкающиеся скачками уплотнения, необратимые потери механической энергии в которых вызывают дополнительное волновое сопротивление.

Физическая природа волнового сопротивления. Рассмотрим схему обтекания профиля закритическим потоком (рис. 8.8). На верхней поверхности симметричного профиля при нулевом угле атаки приведена схема течения, а на нижней – соответствующая ей эпюра давления.

В передней критической точке скорость течения , а давление . При удалении от передней критической точки давление уменьшается, а скорость течения увеличивается. В точке А профиля и . Далее вниз по потоку скорость течения становится сверхзвуковой и продолжает расти, а давление уменьшается. Непосредственно перед скачком и . За скачком уплотнения скорость течения становится дозвуковой, давление , и при приближении к задней кромке скорость течения продолжает изоэнтропически уменьшаться до нуля, а давление возрастает до давления заторможенного за скачком уплотнения потока.

Если бы в рассмотренном диапазоне скоростей было возможно только изоэнтропическое обтекание (без скачков), то давление в кормовой части профиля было бы выше и равно . Скачок уплотнения приводит к понижению давления в кормовой части, что и обусловливает появление дополнительного, так называемого волнового, сопротивления.

Волновое сопротивление тем больше, чем больше потери полного давления в скачке. Величина коэффициента волнового сопротивления зависит от числа Маха перед скачком уплотнения. Чем больше , тем меньше коэффициент восстановления полного давления , т. е. больше потери и больше коэффициент волнового сопротивления.

Приближенный метод определения волнового сопротивления. Рассмотрим профиль со скачком на верхней поверхности (рис. 8.9). Выделим элементарную струйку, проходящую через скачок уплотнения. Проведем на расстоянии, достаточно удаленном от профиля, две контрольные поверхности I–I и II–II.

Параметры течения на поверхности I–I – , а на II–II – .

Из условия постоянства расхода следует: = , где dy – элемент длины вдоль контрольной поверхности. Применяя теорему о количестве движения к массе газа, заключенной между контрольными поверхностями, получаем следующее:

,

 

где – волновое сопротивление. С учетом уравнения неразрывности и принимая во внимание, что , выражение для запишем как

 

 

Во всех струйках, не пересекающих скачок уплотнения, и . Тогда для определения величины силы сопротивления интегрирование можно производить только по длине скачка. Считая , получаем: . Но так как , а также учитывая, что и , получаем . Поскольку , то , и при уменьшении величины коэффициента восстановления полного давления (с увеличением числа Маха и интенсивности скачка) сила волнового сопротивления возрастает.

После некоторых преобразований можно получить выражение для коэффициента волнового сопротивления профиля:

(8.2)

 

где А – постоянный коэффициент, который в общем случае зависит от формы профиля (для большинства современных профилей А ).

Формулой (8.2) можно пользоваться до . Из нее следует, что при заданном уменьшение возможно путем увеличения .

 

 

Особенности обтекания крыла конечного размаха

дозвуковым потоком

 

Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха зависят как от формы сечения (профиля), так и от формы крыла в плане.

Рассмотрим крыло конечного размаха. Заметим, что характеристики сечений крыла различны из-за влияния перетекания воздуха через боковые кромки крыла. Профиль, а значит и крыло, создает подъемную силу только тогда, когда циркуляция вектора скорости вокруг профиля . То есть, по своему действию можно заменить систему профилей, составляющих крыло, присоединенным вихрем. Заменим крыло простейшей вихревой системой – одним П-об-разным присоединенным вихрем (рис. 8.10).

Циркуляцию скорости Г присоединенного вихря в данной задаче определим исходя из условия равенства подъемной силы крыла силе, создаваемой П-образным вихрем: , т. е.

 

, (8.3)

 

где – расстояние между свободными полубесконечными вихрями, сбегающими с концов крыла. Это расстояние больше размаха крыла на некоторую величину: . Можно принять, что .

Каждый свободный концевой вихрь индуцирует вокруг себя поле скоростей. Профили скорости для левого и правого концевых вихрей, а также эпюра суммарной скорости приведены на рис. 8.10. При начале координат в центре крыла величина скорости, индуцируемой обоими вихрями и направленной вниз, может быть определена по формуле Био–Савара для полубесконечного вихря как

 

. (8.4)

 

Средняя по размаху крыла скорость или с учетом выражения (8.4) после интегрирования получим

 

. (8.5)

 

Подставив значение циркуляции из уравнения (8.3), учтем, что , и проведем замену (удлинение крыла). Тогда при получим , и из формулы (8.5) следует, что

 

. (8.6)

 

Анализ формулы (8.6) показывает, что за появление индуцированной скорости ответственны подъемная сила и конечность крыла (для реального крыла ). Индуктивная скорость изменяет действительный угол атаки крыла (рис. 8.11), поскольку вблизи поверхности крыла скорость течения .

Скорость перпендикулярна вектору , и ее называют скоростью скоса потока. Действительный вектор скорости отклоняется от вектора скорости набегающего потока на угол скоса .

Ввиду малости угла скоса, . С учетом формулы (8.6)

. (8.7)

Допустим, что крыло установлено под углом к вектору скорости набегающего потока (установочный угол атаки). Вследствие скоса потока истинный угол атаки крыла равен . Чем больше удлинение крыла , тем меньше скос потока и меньше различие между истинным и установочным углами атаки.

Создаваемая крылом подъемная сила , перпендикулярная вектору местной скорости , дает составляющую на направление скорости набегающего потока. Поскольку появление этой составляющей спровоцировано скосом потока за счет индуцированных концевыми вихрями скоростей, то ее принято называть силой индуктивного сопротивления. В соответствии с рис. 8.11 можно записать выражения для коэффициентов подъемной силы и индуктивного сопротивления: .

Ввиду малости и . С учетом выражения (8.7) для угла скоса потока, получим

. (8.8)

 

Формула (8.8) показывает, что индуктивное сопротивление обязано своим появлением подъемной силе – главной цели создания крыльев – и конечности размаха крыла. Индуктивное сопротивление и коэффициент индуктивного сопротивления равны нулю при нулевой подъемной силе () или при .

 

 

Линеаризованная теория обтекания плоской пластинки

сверхзвуковым потоком

 

Рассмотренная ранее схема линеаризации течений разрежения и уплотнения (см. гл. 5) позволяет просто решить задачу обтекания плоской пластинки при малых углах атаки a.

Рассмотрим обтекание плоской пластинки, расположенной под малым углом атаки к вектору скорости набегающего потока (жидкость идеальная). В сверхзвуковом потоке малые возмущения против вектора скорости не распространяются, поэтому на плоскую пластинку набегает невозмущенный поток и обтекание ее верхней и нижней поверхностей можно рассматривать независимо друг от друга (рис. 8.12).

Линия тока, направленная вдоль верхней поверхности, испытывает в носовой части возмущение в виде разрежения , а в кормовой части – в виде сжатия . Для нижней поверхности порядок следования возмущений противоположный .

Так как между передней и задней кромками обеих поверхностей нет источников возмущения, то скорости потока и давления на этих поверхностях постоянны и равны и . Для нахождения давлений и коэффициентов давлений воспользуемся полученными ранее формулами (5.10) и (5.10а) для линеаризованного течения, подставляя в них и учитывая, что для верхней поверхности , а для нижней . Тогда

 

, , (8.9)

и

, . (8.9а)

 

В дозвуковом потоке 75 % подъемной силы создается за счет разрежения на верхней поверхности, и только 25 % – за счет повышенного давления на нижней. В сверхзвуковом потоке (рис. 8.13), в отличие от дозвукового, как следует из формул (8.9), (8.9а) давление вдоль верхней и нижней поверхностей пластинки распределяется равномерно (рис. 8.13, а), а центр давления располагается посредине пластины: . В дозвуковом потоке . Так как коэффициенты давления (рис. 8.13, б), то по линейной теории в сверхзвуковом потоке подъемная сила создается в одинаковой мере верхней и нижней поверхностями.

 

 

 

а б

 

Рис. 8.13. Распределение давления и коэффициента давления

по верхней и нижней сторонам пластинки:

а – давления; б – коэффициента давления

 

Найдем нормальную силу, которая действует на пластину:

 

.

Тогда подъемная сила равна (рис. 8.14), а волновое сопротивление (другие виды сопротивления отсутствуют, так как жидкость идеальная, а пластинка имеет бесконечный размах).

При малых углах атаки и . Отсюда коэффициенты сил и . С учетом выражений (8.9а) для коэффициентов давлений получаем

 

, . (8.10)

 

Следует помнить, что в этих формулах угол измеряется в радианах.

При малых углах атаки (см. рис. 8.2, зависимости от на линейном участке) , т. е. для плоской пластинки

 

. (8.10а)

 

Как следует из формул (8.10), (8.10а) с ростом числа коэффициенты , и уменьшаются.

Момент аэродинамической силы относительно передней кромки равен (положительным считается момент на кабрирование, т. е. на увеличение ). Коэффициент момента

 

 

ведет себя таким же образом, как и другие аэродинамические коэффициенты: при увеличении числа коэффициент момента уменьшается.

 

 

В сверхзвуковом потоке

 

Рассмотрим обтекание тонкого слабоизогнутого крыла конечного размаха произвольной формы в плане установившимся сверхзвуковым потоком невязкого газа.

Будем считать, что создаваемые крылом возмущения малы. Тогда можно применить правило наложения потоков и записать потенциал скорости как , где – потенциал скорости невозмущенного потока; – потенциал скорости возмущений. Функции и удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям:

 

(8.11)

 

Рассмотрим граничные условия, которым должен удовлетворять .

Крыло вызывает возмущения внутри волновой поверхности , огибающей конусы возмущений (рис. 8.20). Волновая поверхность разбивает всю область потока на две части:

1) внутри волновой поверхности ;

2) вне ее .

То есть граничное условие на поверхности следующее: . Согласно условию непротекания на поверхности крыла .

При наличии подъемной силы () за крылом образуется вихревая пелена. Для тонкого крыла при малом можно принять, что свободные тонкие вихри пелены параллельны , а ширина пелены равна размаху крыла.

На вихревой пелене скорость () и давление непрерывны, т. е. при приближении к вихревой пелене сверху () или снизу ()

 

, .

 

На основе линеаризованного уравнения Бернулли (5.7) можно сделать вывод, что при скорость , т. е. .

Так как потенциал скорости возмущения удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (8.11), поток в окрестности тонкого крыла произвольной формы можно получить в результате наложения потока около крыла нулевой толщины при заданном и потока около крыла с симметричным профилем – при .

Зная можно определить скорость в каждой точке потока, в том числе и на поверхности крыла, а также найти распределение давления и коэффициента давления как

 

,

 

где – коэффициент давления для крыла нулевой толщины при несимметричном обтекании (); – коэффициент давления для крыла с симметричным профилем конечной (малой) толщины при ( не создает подъемной силы). Поэтому для определения и тонкого крыла достаточно решить задачу обтекания крыла нулевой толщины (пластинки) при заданном угле атаки.

Коэффициент сопротивления крыла равен сумме коэффициентов сопротивления при нулевом угле атаки и , обусловленного подъемной силой (индуктивно-волновое сопротивление):

 

.

 

 

Для профиля и крыла

 

Рассмотрим некоторые инженерные зависимости, позволяющие провести оценочный расчет аэродинамических характеристик профиля и крыла конечного размаха при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях.

 

Рассчитаем лобовое сопротивление. В диапазоне дозвуковых скоростей главной составляющей силы лобового сопротивления является сопротивление трения. Более того, сопротивление трения есть при любых скоростях движения. На его величину кроме скорости движения влияют форма профиля и состояние пограничного слоя.

Малые дозвуковые скорости (). В этом диапазоне скоростей газ можно считать несжимаемой жидкостью.

При ламинарном пограничном слое коэффициент сопротивления трения для профиля определяется как для пластины в несжимаемой жидкости, например, по формуле Блазиуса:

 

.

С увеличением скорости потока коэффициент сопротивления трения уменьшается вследствие уменьшения толщины пограничного слоя.

При турбулентном пограничном слое на профиле также используют зависимости, полученные для плоской пластинки и несжимаемой жидкости. Причем в зависимости от величины числа Рейнольдса применяют расчетные формулы разного вида. Так в диапазоне применяют формулу Кармана

,

 

а при можно пользоваться формулой Прандтля:

 

.

 

Докритические скорости (). Расчет коэффициента сопротивления трения можно вести по приведенным выше зависимостям для несжимаемой жидкости, учитывая влияние сжимаемости по методу Прандтля–Глауэрта:

.

 

Закритические скорости (). При закритических скоростях появляется еще одна составляющая сопротивления – волновое сопротивление, т. е. . Рассчитать коэффициент волнового сопротивления профиля можно по формуле

 

.

 

Наибольшим волновым сопротивлением при около- и сверхзвуковых скоростях обладают толстые дозвуковые профили. Основным принципом уменьшения волнового сопротивления является уменьшение возмущений, вносимых телом в поток за счет следующих факторов:

а) уменьшения относительной толщины профиля , что приводит к увеличению и уменьшению интенсивности головных скачков уплотнения при сверхзвуковых скоростях;

б) заострения носа профиля при одинаковых относительных толщинах на сверхзвуковых скоростях профили с острыми носовыми частями имеют сопротивление меньше в 2…3 раза (рис. 8.21).

Меньшее сопротивление тупоносых профилей 2 (рис. 8.21) при дозвуковых и трансзвуковых скоростях объясняется возникновением подсасывающей силы, уменьшающей общее сопротивление за счет большого разрежения у передней кромки профиля.

Сверхзвуковые скорости. Для сверхзвуковых скоростей полета оптимальной формой профиля является ромб с несколько смещенной назад максимальной толщиной.

Имея ввиду малость возмущений, вносимых тонким профилем в сверхзвуковой поток, коэффициент волнового сопротивления можно представить в виде суммы двух составляющих: , где – составляющая, зависящая от угла атаки и не зависящая от формы профиля (); – оценивает вклад формы и толщины профиля (при ).

Тогда формула для расчета принимает вид

 

, (8.12)

 

где K – коэффициент формы профиля, значения которого приведены в табл. 8.1.

 

 

Таблица 8.1

Рассмотрим основные геометрические характеристики профиля.

Хорда – отрезок прямой, соединяющий две наиболее удаленные точки профиля А и В; длина хорды обычно обозначается буквой b.

Контур профиля принято задавать относительными координатами верхнего и нижнего обводов профиля в зависимости от относительной продольной координаты : .

Средняя линия – геометрическое место точек, равноотстоящих от верхнего и нижнего обводов по перпендикуляру к хорде. Координаты средней линии можно найти по формуле в абсолютном или относительном виде.

Расстояние между верхней и нижней частями контура в каком-нибудь сечении, перпендикулярном хорде, называется абсолютной толщиной профиля (изменяется вдоль хорды) и обозначается с. Максимальную толщину обычный тонкий дозвуковой профиль имеет в сечении = 0,2…0,4.

Относительная толщина профиля – отношение максимальной толщины к длине хорды ( % в зависимости от назначения профиля).

Относительная вогнутость – отношение максимальной ординаты средней линии (стрелы прогиба) к длине хорды: (обычно ).

Аэродинамические характеристики профилей обычно представляют с помощью коэффициентов сил и моментов:

– коэффициент подъемной силы;

– коэффициент силы лобового сопротивления;

– коэффициент момента, где М – момент аэродинамической силы R относительно оси OZ_а; – скоростной напор невозмущенного набегающего потока; b – хорда профиля; – плечо равнодействующей аэродинамической силы.

В аэродинамической практике часто используют такое понятие, как качество профиля , которое показывает соотношение между подъемной силой и силой лобового сопротивления профиля, крыла или летательного аппарата в целом. Величина К может изменяться от долей единицы (для бескрылых ЛА при больших углах атаки) до значений порядка 40...60 (для безмоторных ЛА – планеров или для ЛА с ограниченными запасами топлива, предназначенными для выполнения полетов большой протяженности).

Аэродинамические характеристики различных профилей помещены в атласах профилей в виде таблиц или (и) графических зависимостей. На графиках (рис. 8.2) приведены примерные зависимости коэффициентов подъемной силы и силы лобового сопротивления для несимметричного профиля от угла атаки (рис. 8.2, а) и так называемая поляра первого рода – зависимость (рис. 8.2, б).

 

 

а б

Рис. 8.2. Аэродинамические характеристики профиля:

а – несимметричный профиль; б – поляра первого рода

 

Остановимся более подробно на зависимостях и (рис. 8.2, б). При профиль не создает подъемной силы. Увеличение угла атаки приводит к росту величины коэффициента подъемной силы. Зависимость при углах атаки до значения имеет линейный характер, пока на поверхности профиля сохраняется безотрывный характер течения. В аналитическом виде линейную зависимость можно записать следующим образом: , где – коэффициент подъемной силы при нулевом угле атаки; .

При больших углах атаки линейность изменения нарушается в связи с появлением отрыва потока на верхней поверхности профиля. При величина достигает своего максимума, дальнейшее увеличение угла атаки приводит вначале к плавному снижению коэффициента подъемной силы (в связи с развитием отрыва потока и охватом им все большей части поверхности профиля), а затем практически к ее исчезновению (обрыв кривой . В этот момент отрыв потока охватывает всю верхнюю поверхность профиля.

Поляра первого рода дает возможность получить данные о коэффициентах и при разных углах атаки и оценить их соотношение через качество профиля. Угол наклона прямой, проведенной из начала координат через некоторую точку кривой, позволяет определить качество профиля при данном угле атаки: . Наибольшую величину угол (а следовательно и качество профиля ) имеет для касательной, проведенной к поляре первого рода из начала координат. Угол атаки, обеспечивающий полет ЛА с качеством , называют наивыгоднейшим углом атаки. При полет ЛА происходит с наименьшими затратами мощности, т. е. с минимальным расходом топлива.