Расчет пограничного слоя на плоской поверхности

В несжимаемой среде

 

Решение задачи об обтекании плоской пластинки в теории сопротивления играет большую роль. Найденная для пластинки зависимость и величина коэффициента сопротивления трения могут быть использованы при приближенных расчетах других удобообтекаемых тел.

Задача расчета пограничного слоя в несжимаемой среде сводится к определению закона изменения толщины пограничного слоя, т. е. , и силы сопротивления трения при условии, что известны скорость , величина коэффициента кинематической вязкости и хорда пластинки .

Для плоской пластинки (рис. 7.6) скорость потенциального течения , градиент давления вдоль пластинки (пластинка – тело с нулевым градиентом давления вдоль ее хорды). С учетом вышеизложенного интегральное соотношение (7.8) приобретает вид

 

. (7.10)

Для решения задачи о пограничном слое введем дополнительно еще два соотношения:

1) закон распределения скорости по толщине пограничного слоя ;

2) уравнение, связывающее касательное напряжение на стенке с толщиной пограничного слоя .

Вид этих соотношений зависит от состояния пограничного слоя.

 

Ламинарный пограничный слой

 

Рассмотрим закон распределения скорости в виде полинома третьей степени (метод Польгаузена)

 

. (7.11)

 

Коэффициенты полинома определим из граничных кинематических и динамических условий:

Кинематические граничные условия:

1) при , ;

2) при , .

Динамические граничные условия:

1) при и из первого уравнения системы (7.6) для пограничного слоя получаем , но и тогда ;

2) при сила трения становится равной нулю, т. е. касательные напряжения обращаются в нуль, и отсюда .

Подставляя указанные граничные условия в уравнения (7.11), получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов :

, , , .

 

В результате ее решения определим значения коэффициентов: . Следовательно, закон распределения скорости по сечению ламинарного пограничного слоя принимает вид

. (7.11а)

Выражение для получим из закона Ньютона для внутреннего трения при ламинарном течении: . Из уравнения (7.11а) производная , отсюда:

 

. (7.12)

 

Вычислим интегралы, входящие в интегральное соотношение:

 

и

 

Подставив эти интегралы в интегральное соотношение (7.10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

 

.

 

Группируя подобные члены и разделяя переменные, получаем . После интегрирования имеем следующее: . Значение произвольной постоянной определим из условий на передней кромке пластинки: при толщина пограничного слоя , следовательно .

В итоге, после небольших преобразований получаем формулу для расчета толщины пограничного слоя:

 

, или . (7.13)

 

Как следует из уравнения (7.13), толщина ламинарного пограничного слоя нарастает по параболическому закону. Тогда толщина вытеснения и толщина потери импульса для ламинарного пограничного слоя будут следующие: и .

Введем в рассмотрение местный коэффициент трения , представляющий собой отношение касательных напряжений к скоростному напору:

 

. (7.14)

 

Подставив выражение (7.12) в выражение (7.14) с учетом уравнения (7.13), получаем следующее:

 

или . (7.15)

 

Формула (7.15) показывает, что местный коэффициент трения, имея максимум вблизи передней кромки, уменьшается при удалении от нее.

Найдем силу трения, действующую на пластинку, учитывая тот факт, что пограничный слой есть на обеих сторонах пластинки (см. рис. 7.6). Запишем выражения для через коэффициент сопротивления трения:

 

 

и через касательные напряжения (или местный коэффициент трения):

 

.

 

Приравняв правые части этих выражений, получим зависимость для расчета коэффициента сопротивления трения плоской пластинки через местный коэффициент трения:

. (7.16)

 

С учетом формулы (7.15) формула для коэффициента сопротивления трения плоской пластинки при ламинарном пограничном слое принимает вид

 

. (7.17)

 

В уравнении (7.17) в качестве характерного линейного размера в числе Рейнольдса используется хорда пластинки , т. е. .