Интегральное соотношение пограничного слоя

 

Рассмотрим установившийся плоский пограничный слой. Выделим в пограничном слое малый объем (рис. 7.5). Применим к данному объему теорему об изменении количества движения. Вычислим изменение количества движения в направлении оси ОХ за промежуток времени . Через грань в выделенный объем втекает масса , а через грань вытекает масса . Разность между ними равна .

На основании условия неразрывности такая же масса должна втекать в объем через верхнюю границу Эта масса вносит количество движения , где U – скорость потока на внешней границе пограничного слоя. Найдем изменение количества движения жидкости в выделенном объеме. Количество движения, вносимое через грань равно , а уносимое через – . Тогда полное изменение количества движения в объеме за время равно

 

.

 

Силы давления, действующие на грани , единичной протяженностью в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка (рис. 7.5), в проекции на ось ОХ равны

 

, и .

 

Сумма проекций сил давления равна , а импульс сил . Кроме того, на грань действует сила трения, направленная против потока и оси ОХ:

 

Приравняв изменение количества движения жидкости в объеме суммарному импульсу от сил давления и трения, получаем

 

. (7.8)

 

Соотношение (7.8) называют интегральным соотношением пограничного слоя. Оно пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного пограничных слоев. При использовании этого соотношения для решения задач необходимы два дополнительных уравнения (неизвестные ):

1. Закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя, который можно задать приближенно аппроксимирующей функцией.

2. Зависимость напряжения трения от изменения скорости по нормали к поверхности. Например, для ламинарного пограничного слоя можно использовать формулу Ньютона (1.1).

В результате подстановки выражений для и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, позволяющее определить толщину пограничного слоя.

Интегральное соотношение можно привести и к другому виду. Из уравнения Эйлера–Бернулли (см. гл. 3) запишем следующее:

 

.

 

Так как , то после подстановок в выражение (7.8) интегральное соотношение будет иметь вид

 

.

 

Первый интеграл, исходя из сопоставления с выражением для толщины вытеснения, можно записать как , а второй – через толщину потери импульса: . Таким образом, . Считая , получим

или

.

 

Введя в рассмотрение формпараметр, представляющий собой отношение толщины вытеснения к толщине потери импульса , получим

. (7.9)

 

В таком виде интегральное соотношение более удобно для расчета пограничного слоя около криволинейных поверхностей.