Численное решение уравнений.

Для численного решения уравнений, в тех случаях, когда трансцендентные уравнения не имеют аналитических решений, используется специальная команда fsolve(eq,x), параметры которой такие же, как и команды solve. Например:

> x:=fsolve(cos(x)=x,x);

x: =. 7390851332

 

Решение рекуррентных и функциональных уравнений.

Команда rsolve(eq,f) позволяет решить рекуррентное уравнение eq для целой функции f. Можно задать некоторое начальное условие для функции f(n), тогда получиться частное решение данного рекуррентного уравнения. Например:

> eq:=2*f(n)=3*f(n-1)-f(n-2);

> rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f);

Универсальная команда solve позволяет решать функциональные уравнения, например:

> F:=solve(f(x)^2-3*f(x)+2*x,f);

F:= proc (x) RootOf(_ Z ^2 - 3*_ Z + 2* x) end

В результате получается решение в неявном виде. Однако Maple может работать с такими решениями. Неявное решение функционального уравнения можно попытаться преобразовать в какую-либо элементарную функцию с помощью команды convert. Продолжая приведенный выше пример, можно получить решение в явном виде:

> f:=convert(F(x),radical);

 

Решение тригонометрических уравнений.

Команда solve, примененная для решения тригонометрического уравнения, выдает только главные решения, то есть решения в интервале [0,2p]. Для того, чтобы получить все решения, следует предварительно ввести дополнительную команду _EnvAllSolutions:=true. Например:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(sin(x)=cos(x),x);

~

В Maple символ _ Z ~ обозначает константу целого типа, поэтому решение данного уравнения в привычной форме имеет вид , где n – целые числа.

 

Решение трансцендентных уравнений.

При решении трансцендентных уравнений для получения решения в явном виде перед командой solve следует ввести дополнительную команду _EnvExplicit:=true. Пример решения сложной системы трансцендентных уравнений и упрощения вида решений:

> eq:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+

3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z)-3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }:

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eq,{x,y,z}):

> simplify(s[1]);simplify(s[2]);

{ x =2, y =3, z =1}, { x =2, y =1, z =3}

 

 

Задание 3.

1. Найти все решения системы уравнений

Наберите:

> eq:={x^2-y^2=1,x^2+x*y=2};

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eq,{x,y});

,

Теперь найдите сумму двух наборов решений. Наберите:

> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y):

x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y):

> x1+x2; y1+y2;

Чему равны эти суммы решений?

2. Численно решите уравнение . Наберите:

> x=fsolve(x^2=cos(x),x);

x =.8241323123

3. Найдите функцию f (x), удовлетворяющую уравнению . Наберите:

> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);

F:= proc (x) RootOf(_ Z ^2-2*_ Z - x) end

> f:=convert(F(x), radical);

4. Найдите все решения уравнения . Наберите:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(5*sin(x)+12*cos(x)=13,x);

~

 

§4. Решение неравенств

 

Решение простых неравенств.

Команда solve применяется также для решения неравенств. Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция вида RealRange(–¥, Open(a)), которая означает, что x Î(–¥, a), а – некоторое число. Слово Open означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая граница интервала включена во множество решений. Например:

> s:=solve(sqrt(x+3)<sqrt(x-1)+sqrt(x-2),x):

> convert(s,radical);

RealRange

Если вы хотите получить решение неравенства не в виде интервального множества типа x Î(a, b), а в виде ограничений для искомой переменной типа a < x, x < b, то переменную, относительно которой следует разрешить неравенство, следует указывать в фигурных скобках. Например:

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

 

Решение систем неравенств.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

 

Задание 4.

1. Решите неравенство . Наберите:

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))

Запишите этот результат в аналитическом виде. Получите решение этого неравенства в виде ограничений для искомой переменной. Проделайте это самостоятельно.

2. Решите неравенство . Наберите:

> solve(exp(2*x+3)<1,x);

RealRange

Теперь получите самостоятельно решение этого неравенства в виде ограничений для искомой переменной.

3. Выполните все контрольные задания. Перед их выполнением наберите в текстовом режиме «Контрольные задания». Результаты выполнения заданий покажите преподавателю. Сохраните файл со всеми выполненными заданиями на диск. Ответьте на все контрольные вопросы.

 

Контрольные задания.

1. Дано комплексное число . Найти его вещественную и мнимые части, алгебраическую форму, модуль и аргумент.

2. Записать функцию в виде функционального оператора и вычислите ее значения при x =1, y =0 и при , .

3. Записать функцию с помощью оператора присваивания и вычислите ее значение при x = a, y =1/ a, используя команду подстановки subs.

4. Найти все точные решения системы в аналитическом виде.

5. Найти все решения тригонометрического уравнения .

6. Найти численное решение уравнения .

7. Решить неравенство .

 

Контрольные вопросы.

1. Опишите способы задания функций в Maple.

2. Какие операции оценивания производятся в Maple с действительными выражениями?

3. Для чего предназначена команда evalf?

4. С помощью каких команд можно найти вещественную и мнимую части комплексного выражения, а также его модуль и аргумент, и комплексно сопряженное ему число? Какую роль выполняет команда evalc?

5. Для чего предназначена команда solve?

6. Какие команды используются для численного решения уравнений и для решения рекуррентных уравнений?

7. Какие дополнительные команды следует ввести для того, чтобы получить точное решение уравнения, все решения уравнения?

8. В каком виде выдается решение неравенства? Как отличить в строке вывода закрытый интервал от открытого?

 

 

III. Построение графиков

 

1. Двумерные графики.

2. Трехмерные графики. Анимация.

 

§1. Двумерные графики