Магнитное поле. Закон био-савара-лапласа

Движущийся заряд q, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого

,

где – скорость электрона, – расстояние от электрона до данной точки поля, μ – относительная магнитная проницаемость среды, μ ₀ = 4 π ·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.

По закону Био-Савара-Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого в некоторой точке K

где – расстояние от точки K до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl.

Направление вектора можно найти по правилу Максвелла (буравчика): если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению тока в элементе проводника, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление вектора магнитной индукции .

Применяя закон Био-Савара-Лапласа к контурам различного вида, получим:

· в центре кругового витка радиуса R с током силой I магнитная индукция

· магнитная индукция на оси кругового тока где a – расстояние от точки, в которой ищется B до плоскости кругового тока,

· поле, созданное бесконечно длинным проводником с током, на расстоянии r от проводника

· поле, созданное проводником конечной длины, на расстоянии r от проводника (рис. 15)

· поле внутри тороида или бесконечно длинного соленоида n – число витков на единицу длины соленоида (тороида)

Вектор магнитной индукции связан с напряженностью магнитного поля соотношением

Объемная плотность энергии магнитного поля:

 

401. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут токи силы I = 60 А в одном направлении, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определите магнитную индукцию B в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 5 см от одного и на расстоянии r₂ = 12 см от другого.

402. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут токи силы I = 15 А в противоположных направлениях, расположены на расстоянии d = 5 см друг от друга. Определите магнитную индукцию B в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от каждого проводника.

403. Ток I = 60 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии d = 20 см.

404. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 80 см и b = 60 см, течет ток силы I = 25 A. Определите напряженность магнитного поля H в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

405. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Как нужно изменить силу тока в проводнике, что, придав проводнику форму квадрата магнитная индукция в центре контура не изменилась?

406. Найти величину тока в бесконечно длинном проводнике, который имеет квадратный изгиб, изображенный на рис. 16 со стороной a = 15 см, если модуль магнитной индукции магнитного поля в точке А, равен В = 50 мкТл. 407. Индукция магнитного поля в центре

Рисунок 16

кругового витка радиусом R = 11 см равна B = 80 мкТл. Найти индукцию магнитного поля на оси витка на расстоянии d = 10 см от его плоскости.

408. Определите магнитную индукцию B в точке A (см. рис. 17), если по проводнику течет ток I = 10 A, а сторона треугольника a = 5 см. 409. Маленький шарик с зарядом q = 5∙10^-7 Кл, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длины L = 1 м, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости так, что

Рисунок 17

нить все время образует с вертикалью угол α = 60^o. Определите напряженность магнитного поля в центре окружности, рассматривая движение шарика как круговой ток.

410. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого током I = 30 A, текущим по проводу, согнутому в виде правильного треугольника со стороной a = 30 см, в вершине правильного тетраэдра для которого этот треугольник служит основанием.

 

Сила Лоренца. Сила Ампера

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле c индукцией B со скоростью υ, со стороны магнитного поля действует сила называемая силой Лоренца

,

причем модуль этой силы равен .

Направление силы Лоренца может быть определено по правилу левой руки: если поставить левую руку так, чтобы перпендикулярная скорости составляющая вектора индукции входила в ладонь, а четыре пальца были бы расположены по направлению скорости движения положительного заряда (или против направления скорости отрицательного заряда), то отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца

Сила Ампера это сила, которая действует на проводник, по которому течет ток I, находящийся в магнитном поле

,

Δ l – длина проводника, причем направление совпадает с направлением тока в проводнике.

Модуль силы Ампера: .

Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводника с токами I₁ и I₂ взаимодействуют между собой с силой

,

где l – длина участка проводника, r – расстояние между проводниками.

411. α -частица влетает по нормали в область поперечного однородного магнитного поля с индукцией В = 0,4 Тл. Размер области h = 0,5 м. Найти скорость частицы, если после прохождения магнитного поля она отклонилась на угол φ = 30° от первоначального направления.

412. Электрон движется по окружности радиуса R = 10 мм в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл. Какова кинетическая энергия и период обращения электрона? Найти радиус окружности по которой двигалась бы α-частица в данном поле, имея скорость вращения такую же как и электрон.

413. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны R_p траектории протона больше радиуса кривизны R_e траектории электрона?

414. Найти кинетическую энергию W (в электрон-вольтах) α-частицы, движущейся по дуге окружности радиусом R = 80 см в магнитном поле с индукцией B = 3 Тл.

415. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью υ = 2·10⁶ м/с. Индукция магнитного поля B = 0,45 Тл, радиус окружности R = 6 см. Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия W = 27 кэВ.

416. Протон, кинетическая энергия которого W = 250 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению его движения. Индукция магнитного поля B = 0,5 Тл. Найти силу F, действующую на протон, радиус R окружности по которой движется частица и период обращения его T.

417. Найти отношения q/m для заряженной частицы, если она, влетая со скоростью υ = 10⁶ м/c в однородное магнитное поле напряженностью H = 200 кА/м, движется по дуге окружности радиусом R = 8,3 см. Направление скорости движения частицы перпендикулярно к направлению магнитного поля. Сравнить найденное значение со значением q/m для электрона, протона, α -частицы.

418. Электрон, ускоренный разностью потенциалов Δφ = 10 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 30° к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 2 мТл. Найти радиус и шаг винтовой траектории.

419. Однородные магнитное и электрическое поля направлены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля Е = 0,5 кВ/м, индукция магнитного поля В = 1 мТл. Определите, с какой скоростью υ и в каком направлении должен лететь электрон, чтобы двигаться прямолинейно.

420. Однозарядные ионы, массовые числа которых А₁ = 20 и А₂ = 22, разгоняются в электрическом поле при разности потенциалов Δφ = 4·10³ В, затем влетают в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,25 Тл перпендикулярно магнитным линиям и, описав полуокружность, вылетают двумя пучками. Определить расстояние между этими пучками. Заряд одновалентного иона q = 1,6·10^-19 Кл, атомная единица массы m₀ = 1,66·10^-27 кг.

421. Заряженные частицы, заряд которых q = 3,2·10^-19 Кл, ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл и частотой ускоряющего напряжения ν = 6 МГц. Найти кинетическую энергию частиц в момент, когда они движутся по радиусу R = 2 м.

422. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр d = 50 мм и шаг l = 150 мм. Индукция поля B = 4 мТл. Определить скорость электрона υ.

423. В циклотроне для тяжелых ионов в Дубне ионы неона разгоняются до энергии W = 100 МэВ. Диаметр дуантов d = 310 см, индукция магнитного поля в зазоре В = 1,1 Тл, ускоряющий потенциал Δ φ = 300 кВ. Определить кратность ионизации атома неона, полное число оборотов иона в процессе ускорения, а также частоту изменения полярности ускоряющего поля.

424. Определите удельный заряд частиц, ускоренных в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией B = 1,7 Тл при частоте ускоряющего напряжения ν = 25,5 МГц.

425. На горизонтальных рельсах, расстояние между которыми l = 1524 мм, лежит стержень, составляющий с рельсами угол α = 90°. Определите силу тока I, который надо пропустить по стержню, чтобы он пришел в движение, считая, что рельсы и стержень находятся в вертикальном однородном магнитном поле индукции В = 140 мТл. Масса стержня m = 0,7 кг, коэффициент трения стержня о рельсы μ = 0,05.

426. По двум одинаковым плоским прямоугольным контурам со сторонами а = 30 см и b = 40 см текут токи силы I₁ = 10 А и I₂ = 5 А. Определите силу F взаимодействия контуров, если плоскости контуров параллельны, а расстояние между соответствующими сторонами контуров составляет d = 5 мм.

427. Прямой провод длиной l = 10 см, по которому течет ток I = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найти угол α между направлениями вектора В и тока I, если на провод действует сила F = 10 мН.

428. Двухпроводная линия состоит из длинных параллельных прямых проводов, находящихся на расстоянии d = 10 мм друг от друга. По проводам текут одинаковые токи I = 60 А. Определить силу взаимодействия токов, приходящуюся на единицу длины провода.

429. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁ =14 см друг от друга. По проводникам в противоположных направлениях текут токи I₁ = 10 А и I₂ = 30 А. Какую работу A (на единицу длины проводников), надо совершить чтобы сдвинуть эти проводники до расстояния d₂ = 4 см?