Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

.

 

Таблица 8 – Общее решение однородного разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Разностное уравнение
Характеристическое уравнение
Корни	Два простых действительных корня ,	Один действительный корень второй кратности	Два комплексно сопряженных корня
Общее решение

 

Таблица 9 ‑ Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Характеристическое уравнение
	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	1 не является корнем характеристического уравнения
1 является корнем характеристического уравнения кратности

Продолжение таблицы 9

Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Характеристическое уравнение
	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	не является корнем характеристического уравнения
является корнем характеристического уравнения кратности .
, ,	не является корнем характеристического уравнения
является корнем характеристического уравнения первой кратности
	не является корнем характеристического уравнения	, где
является корнем характеристического уравнения первой кратности	, где

 

Элементы теории устойчивости для разностных уравнений

Пусть дано линейное разностное уравнение m-го порядка с постоянными коэффициентами

.

Тогда:

1) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенству , то все решения данного уравнения будут асимптотически устойчивы;

2) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенству , причем все корни являются простыми, то все решения данного уравнения будут устойчивы;

3) все решения данного уравнения будут неустойчивы во всех остальных случаях.

 

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных первого порядка

Определение. Линейным уравнением в частных производных (УЧП) первого порядка называется уравнение вида

, (2)

где , и ‑ функции от , и ; ‑ неизвестная функция.

Пусть система ОДУ имеет общие интегралы и , тогда общий интеграл УЧП (2) имеет вид

.

Здесь ‑ произвольная непрерывно дифференцируемая функция.