Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим уравнение n-го порядка:

(1)

Оно решается непосредственным интегрированием.

........

 

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:

Интегрируем:

Интегрируем еще раз:

 

Решение линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

(1)

Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.

Ищем решение уравнения (1) в виде e^kx. Получаем характеристическое уравнение:

(2)

Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни k_i. Тогда характеристическое уравнение можно представить в виде:

(3)

Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений y_i фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

Решение линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

Установление вида частного решения

Составим характеристическое уравнения однородного уравнения (3):

(4)

Пусть k_i - корни характеристического уравнения (4).

Комплексные корни выразим через действительную и мнимую части:

Для действительных корней k_2i = 0.

Если среди корней k_i нет значения

то частное решение имеет вид:

где s - наибольшее из s₁ и s₂;

многочлены степени s с коэффициентами A_i, B_i, которые подлежат определению подстановкой в уравнение (2).

Если среди корней k_i есть корень

кратности m, то частное решение имеет вид:

После того как установлен вид частного решения, подставляем y₁ в уравнение (2) и находим неизвестные коэффициенты A_i и B_i. После чего получаем общее решение уравнения (2):

Далее рассмотрен пример решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной неоднородной частью.

Частные случаи

Неоднородность в виде многочлена

В этом случае α = β = 0.

Если среди корней k_i нет значения

то частное решение имеет вид:

Если среди корней k_i есть корень

кратности m, то частное решение имеет вид:

Неоднородность в виде экспоненты

В этом случае β = 0.

Если среди корней k_i нет действительного значения

то частное решение имеет вид:

Если среди корней k_i есть корень

кратности m, то частное решение имеет вид: