Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

;

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений x и объемом выпуска продукции y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1

,

.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 82,2 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F -критерия Фишера:

.

для a = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Определим среднюю относительную ошибку:

.

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,685%.

 

Таблица 1

	y	x	y × x	x ^2
					13,43	180,36	‑17,4	303,8	60,2	3,84	6,000
					5,43	29,485	‑13,4	180,36		‑1,96	‑3,500
					1,43	2,0449	0,57	0,3249	50,3	1,74	3,346
					‑2,57	6,6049	‑5,43	29,485	53,6	‑5,56	‑11,583
					‑0,57	0,3249	2,57	6,6049	49,2	0,84	1,680
					‑4,57	20,885	14,57	212,28	42,6	3,44	7,478
					‑12,6		18,57	344,84	40,4	‑2,36	‑6,211
Итого					0,01	397,71		1077,7		‑0,02	39,798
Ср. знач.	50,57	81,43	4033,14	6784,57							5,685
	56,8
	7,54	12,41

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

	Факт		Переменная
	64,0	1,806		1,806
	56,0	1,748		1,833
	52,0	1,716		1,914
	48,0	1,681		1,881
	50,0	1,699		1,924
	46,0	1,663		1,982
	38,0	1,580		2,000
		11,893		13,340
Средн. знач.	50,5714	1,699	81,429	1,906

Обозначим , , .

Тогда уравнение примет вид:

– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

	y	Y	x	X	Y×X	X ^2
		1,806		1,806	3,262	3,262	61,294	2,706	4,23	7,32
		1,748		1,832	3,203	3,358	58,066	–2,066	3,69	4,27
		1,716		1,913	3,284	3,662	49,133	2,867	5,51	8,22
		1,681		1,880	3,162	3,537	52,580	–4,580	9,54	20,97
		1,699		1,924	3,269	3,702	48,088	1,912	3,82	3,65
		1,662		1,982	3,296	3,929	42,686	3,314	7,20	10,98
		1,579		2,000	3,159	4,000	41,159	–3,159	8,31	9,98
Итого		11,893		13,339	22,637	25,452		0,51	42,32	65,40

,

.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 83,6 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F -критерий Фишера:

.

для a = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,04%.