Практикум по курсу « эконометрика»

ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»

Руководство составлено на основании учебной программы данной дисциплины, составленной в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки студентов экономических специальностей.

Содержание

Перечень тем и подтем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

Тема 2. Множественная регрессия и корреляция

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

Тема 4. Временные ряды

Литература

Перечень тем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 2], Л2 [Гл. 1], Л3 [Гл. 1, 3, 5].

Примеры с решениями.

Пример 1. По территориям региона приводятся данные за календарный год (см. табл. 1).

Таблица 1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная Заработная плата, руб.,

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

;

.

Получим уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 100 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 89 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;

Коэффициент детерминации при этом составит:

.

Это означает, что 51% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , :

 

 

 

Таблица 2

							‑16	12,0
							‑4	2,7
							‑23	17,2
								2,6
								1,9
								10,8
								0,0
								0,0
								5,3
								3,1
								7,5
							‑10	5,8
Итого								68,9
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4	–	–	5,7
	12,84	16,05	–	–	–	–	–	–
	164,94	257,76	–	–	–	–	–	–

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: руб.

5. Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб.

6. Построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):

Рис. 1.

Пример 2. По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (y, млн. руб.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

y
x

Требуется:

1. Для характеристики y от x построить следующие модели:

– линейную (для сравнения с нелинейными),

– степенную,

– показательную,

– гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

– индекс корреляции,

– среднюю относительную ошибку,

– коэффициент детерминации,

– F -критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

Таблица 1

	y	x	y × x	x ^2
					13,43	180,36	‑17,4	303,8	60,2	3,84	6,000
					5,43	29,485	‑13,4	180,36		‑1,96	‑3,500
					1,43	2,0449	0,57	0,3249	50,3	1,74	3,346
					‑2,57	6,6049	‑5,43	29,485	53,6	‑5,56	‑11,583
					‑0,57	0,3249	2,57	6,6049	49,2	0,84	1,680
					‑4,57	20,885	14,57	212,28	42,6	3,44	7,478
					‑12,6		18,57	344,84	40,4	‑2,36	‑6,211
Итого					0,01	397,71		1077,7		‑0,02	39,798
Ср. знач.	50,57	81,43	4033,14	6784,57							5,685
	56,8
	7,54	12,41

Рис 2. Прогноз по лучшей модели.

Примеры с решениями.

Пример. По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ().

Номер предприятия				Номер предприятия
	7,0	3,9	10,0		9,0	6,0	21,0
	7,0	3,9	14,0		11,0	6,4	22,0
	7,0	3,7	15,0		9,0	6,8	22,0
	7,0	4,0	16,0		11,0	7,2	25,0
	7,0	3,8	17,0		12,0	8,0	28,0
	7,0	4,8	19,0		12,0	8,2	29,0
	8,0	5,4	19,0		12,0	8,1	30,0
	8,0	4,4	20,0		12,0	8,5	31,0
	8,0	5,3	20,0		14,0	9,6	32,0
	10,0	6,8	20,0		14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение:

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
	7,0	3,9	10,0	27,3	70,0	39,0	15,21	100,0	49,0
	7,0	3,9	14,0	27,3	98,0	54,6	15,21	196,0	49,0
	7,0	3,7	15,0	25,9	105,0	55,5	13,69	225,0	49,0
	7,0	4,0	16,0	28,0	112,0	64,0	16,0	256,0	49,0
	7,0	3,8	17,0	26,6	119,0	64,6	14,44	289,0	49,0
	7,0	4,8	19,0	33,6	133,0	91,2	23,04	361,0	49,0
	8,0	5,4	19,0	43,2	152,0	102,6	29,16	361,0	64,0
	8,0	4,4	20,0	35,2	160,0	88,0	19,36	400,0	64,0
	8,0	5,3	20,0	42,4	160,0	106,0	28,09	400,0	64,0
	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	136,0	46,24	400,0	100,0
	9,0	6,0	21,0	54,0	189,0	126,0	36,0	441,0	81,0
	11,0	6,4	22,0	70,4	242,0	140,8	40,96	484,0	121,0
	9,0	6,8	22,0	61,2	198,0	149,6	46,24	484,0	81,0
	11,0	7,2	25,0	79,2	275,0	180,0	51,84	625,0	121,0
	12,0	8,0	28,0	96,0	336,0	224,0	64,0	784,0	144,0
	12,0	8,2	29,0	98,4	348,0	237,8	67,24	841,0	144,0
	12,0	8,1	30,0	97,2	360,0	243,0	65,61	900,0	144,0
	12,0	8,5	31,0	102,0	372,0	263,5	72,25	961,0	144,0
	14,0	9,6	32,0	134,4	448,0	307,2	92,16	1024,0	196,0
	14,0	9,0	36,0	126,0	504,0	324,0	81,0	1296,0	196,0
Сумма		123,8		1276,3		2997,4	837,74	10828,0	1958,0
Ср. знач.	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	41,887	541,4	97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ; .

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. стандартизованное уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. . При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Примеры с решениями.

Пример 1. Изучается модель вида:

Данная система из трех уравнений содержит три зависимые, эндогенные (, , ) и четыре независимые, экзогенные (, , , ) переменные.

В структурной форме (СФМ) для нахождения параметров модели и (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

Параметры приведенной формой модели могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели и . Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.

Структурные формы модели могут быть

– идентифицируемые;

– неидентифицируемые;

– сверхиндетифицируемые.

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i -том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: , , (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные

Во втором уравнении две эндогенные переменные: и (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).

Таблица 2