Основное логарифмическое тождество

Логарифм произведения — это сумма логарифмов

Логарифм частного — это разность логарифмов

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа

Показатель степени основания логарифма

, в частности если m = n, мы получаем формулу: , например:

Переход к новому основанию

, частности, если c = b, то , и тогда:

2) Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Док-во

 

Билет 15

1)

Теорема 1. Функция e^x дифференцируема в каждой точке области определения и (e^x)`=e^x..

Теорема 2. Показательная функция а ^x дифференцируема в каждой точке области определения и (a^x)`=a^xlna.

2) Прямоугольная система координат в пространстве представляет собой 3 перпендикулярные прямые, имеющие направление (оси координат) и одну общую точку пересечения (координат).

Абсцисса (х), ордината(у), аппликата(z)

Билет 16

1) Первообразной для функции а^x на R является функция .

Действительно, ln a — постоянная, и поэтому

 

при любом х. Этим доказано, что есть первообразная для а^x на R. А из равенства (е^x)' = е^x для всех х следует, что е^x есть первообразная для е^x на R.

2) Цили́ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

Билет 17

1) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log _a x = b.

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Утверждение 2. Уравнение log _a f (x) = log _a g (x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
f (x) > 0,	g (x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log _{h (x)} f (x) = log _{h (x)} g (x) равносильно одной из систем

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
h (x) > 0,	h (x) > 0,
h (x) ≠ 1,	h (x) ≠ 1,
f (x) > 0,	g (x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения f (x) = g (x) и log _a f (x) = log _a g (x) или log _a [ f (x)· g (x)] = b и log _a f (x) + log _a g (x) = b вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже). Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2) Сфе́ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии не больше заданного.

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R² – Уравнение

Теорема. Радиус сфера, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

Билет 18

1) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

	f (x) > g (x),
g (x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

	f (x) < g (x),
f (x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log _{h (x)} f (x) > log _{h (x)} g (x) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x) > 1,
f (x) > g (x) > 0,
	0 < h (x) < 1,
0 < f (x) < g (x).

Подчеркнем, что в неравенстве log _a f (x) > log _a g (x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

2) Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту

Док-во: теорема для треугольной прямой призмы

Рассмотрим прямую треугольную призму АВСА₁В₁С₁ с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника АВС (отрезок BD), которая разделяет этот треугольник на два треугольника. Плоскость BB₁DD₁ разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники АВD и BDC. Поэтому объёмы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны S_ABD*h и S_BCD*h. По свойству 2 объёмов V=V₁+V₂, т.е. V=S_ABD*h+S_BCD*h=(S_ABD+S_BCD)*h. Таким образом, V=S_ABC*h.

 

Док-во: теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рис., изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы, Выразим объём каждой призмы по формуле V=S_ABC*h и сложим эти объёмы. Внося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом объём исходной призмы равен произведению S*h.

Билет 19

1) Производная функции y = ln x существует и выражается формулой (15). В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид (16). Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

На основании свойств логарифмов имеем Так как - постоянный множитель, то

или .

2) Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: Впишем в данный цилиндр P радиуса r и высоту h правильную n-угольную призму F_n, а в эту призмы впишем цилиндр P_n. Обозначим через V и V_n объёмы цилиндров P и P_n, через r_n радиус цилиндра P_n. Так как объём призмы F_n равен S_n*h, где S_n – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призмы F_n, которая в свою очередь содержит цилиндр P_n, то V_n<S_n*h<V.

Будет неограниченно увеличивать число _n. При этом радиус r_n цилиндра P_n стремится к радиусу r цилиндра P (r_n=cos180/n стремится к r при n ~). Поэтому объём цилиндра P_n стремится к объёму цилиндра P: lim n стремится к ~ V_n=V. Из неравенств V_n<S_n*h<V следует, что lim n стремится к ~ S_n*h=V. Но lim n стремится к ~ S_n=Пr². Таким образом V=Пr²*h.

Обозначив площадь Пr² основания цилиндра буквой S, из формулы V=Пr²*h получим V=S*h.

Билет 20

1) Если f(x) = x^p, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x^−p, то

2) Теорема. Объём наклонной призмы равен произведению основания на высоту.

Док-во: Для треугольной призмы:

Рассмотрим треугольную призмы с объёмом V площадью основания S и высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пресечения этой плоскости с осью Ох, а через S(x) – площадь получившегося сечения.

Докажем, что площадь S(x) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники АВС (основание призмы) и А₁В₁С₁ (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. Четырёхугольник АА₁В₁В – параллелограмм (отрезки АА₁ и ВВ₁ равны и параллельны), поэтому А₁В₁=АВ. Аналогично доказывается, что В₁С₁=ВС и А₁С₁=АС. Треугольники А₁В₁С₁ и АВС равны по трём сторонам. Следовательно, S(x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объёмов тел при а=0 и b=h, получаем V= h интеграл 0 S(x)dx= h интеграл 0 Sdx= S h интеграл 0 dx= S*h h|0=S*h

Док-во: для произвольной призмы:

Докажем теперь теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h. Выразим объём каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объёмы. Внося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадью S основания исходной призмы. Таким образом, объём исходной призмы равен S*h.