До виконання лабораторних робіт з дисципліни

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З ДИСЦИПЛІНИ

«Математичне моделювання систем»

Укладач: к.ф.-м.н., доц. С.А.Ус

Дніпропетровськ

Лабораторна робота 1.

Побудування математичних моделей.

Мета роботи: навчитися будувати і розвязувати прості моделі лінійного програмування.

Порядок виконання роботи:

1. вивчити необхідний теоретичний матеріал;

2. побудувати математичну модель згідно варіанту;

3. розвязати отриману задачу геометричним методом та за допомогою Excel;

4. оформити звіт, який повинен містити:

- назву та мету роботи,

- індивідуальне завдання згідно варіанту,

- описання побудови математичної моделі,

- побудовану модель,

- розв’язання задачі.

Завдання. Побудувати математичну модель лінійного програмування для задачі, обраній згідно варіанту. Розвязати отриману задачу геометричним методом.

Приклад виконання завдання

Постановка задачі. Підприємство виготовляє і продає фарбу двох видів: для внутрішніх і зовнішніх робіт. Для виробництва фарби використовується два початкові продукти A і B. Витрати продуктів A і B на 1 т. відповідних фарб і запаси цих продуктів на складі приведені в таблиці:

 

Початковий	Витрата продуктів (у тоннах на 1 т. фарби)	Запас продукту на
продукт	фарба для внутрішніх робіт	фарба для зовнішніх робіт	складі ((тонн)
A
B

 

Продажна ціна за 1 тонну фарби для внутрішніх робіт складає 2 000 рублів, фарба для зовнішніх робіт продається по 1 000 рублів за 1 тонну. Вимагається визначити яку кількість фарби кожного виду слід проводити підприємству, щоб отримати максимальний дохід.

Розглянемо поетапне рішення цієї задачі декількома способами: графічним, і з використанням процедури " Пошук рішення " Excel.

I. Складання математичної моделі завдання.

1) Змінні завдання.

Позначимо: x₁ - кількість вироблюваної фарби для внутрішніх робіт;

x₂ - відповідна кількість фарби для зовнішніх робіт.

2) Обмеження, якими повинні задовольняти змінні завдання,:

x₁, x₂ 0;

по витраті продукту A: x1 + 2x2 3;

по витраті продукту B: 3x₁ + x₂ 3;

У лівих частинах останніх двох нерівностей визначені витрати продуктів A і B, а в правих частинах нерівностей записані запаси цих продуктів.

3) Цільова функція завдання.

Позначимо Z дохід від продажу фарби (у тисячах рублів), тоді цільова функція завдання записується так:

Z = 2x₁ + x₂,

таким чином, завдання полягає в тому, щоб знайти max Z=2x1+x2, при обмеженнях:

x₁ + 2x₂ 3 (A)

3x₁ + x₂ 3 (B)

x₁, x₂ 0.

Оскільки змінні завдання x1 і x2 входять в цільову функцію і обмеження завдання лінійно, то відповідне завдання оптимізації називається завданням лінійного програмування (ЛП).

Лабораторна робота 1.

ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ

 

Скиди виробничих, побутових і сільськогосподарських стічних вод у поверхневі води вносять чуттєві зміни в їх гідрохімічний і біологічний режим, змінюючи якість води, порушуючи жіттєдіяльність рослинних і тваринних організмів. Тому витрати скидуваних стічних вод і вміст забруднюючих речовин у стічних водах підлягають нормуванню залежно від асимілюючої здатності поверхневих вод. Нормативи гранично допустимих скидів розраховуються і встановлюються з використаннім математичних моделей впливу скидів на якість поверхневих вод для гарантованих з певною забезпеченістю умов скидання. Найбільш поширеною моделлю розрахунку впливу окремого скиду стічної води на якість води річки є модель матеріального балансу забруднюючої речовини:

. (1)

де - вміст забруднюючої речовини у контрольному створі; - вміст забруднюючої речовини в стічній воді скиду; - фоновий вміст забруднюючої речовини в річці безпосередньо перед місцем розташування випуску стічної води; - кратність розбавлення стічної води річковою на шляху від місця випуску до контрольного створу.

Проте оцінка впливу скиду на вміст забруднюючої речовини у контрольному створі за моделлю (1) є досить складною проблемою через те, що, наприклад, кратність розбавлення є величиною, складним чином залежною від місцевих гідродинамічних умов переносу речовини річкою. Альтернативою є побудова статистичної моделі оцінки впливу скиду, якщо існують дані регулярних синхронних гідрохімічних спостережень (вимірювань) вмісту забруднюючої речовини в стічній воді та контрольному створі, що мають проводитися на випусках з великими річними об’ємами скиду.стічної води. Саме модель (1) дозволяє висловити припущення щодо структури статистичного зв’язку і :

,

де = є лінійна регресія величини , що розглядається як випадкова, за величиною ; і є параметри регресії; - внесок випадкових факторів, що визначають вплив фонової концентрації та умов робавлення стічної води. Задачами регресійного аналізу є перевірка припущення, що регресія має вигляд

= , (2)

визначення величин регресійних параметрів, а також характеристик “шуму”, тобто впливу випадкових факторів.

 

 

РОЗРАХУНКОВІ ЗАЛЕЖНОСТІ

 

Вихідними даними для проведення повного регресійного аналізу, метою якого є побудова статистичної (регресійної) моделі впливу скиду стічної води на якість річкової води у контрольному створі, є синхронні ряди спостережень величин і (табл.1).

 

Таблиця 2.1. Дані вимірювань величин і

Номер вимірювання			...	і	...	М
			...		...
			...		...

 

Число М визначає розмір вибірки спостережень, а індекс і нумерує дані вимірювань. Розрахунки і визначення проводять у наступній послідовності.

 

Розрахунок статистик

Далі розраховують статистики, тобто величини, що є алгебричними комбінаціями результатів вимірювань, а саме:

Допоміжні статистики

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

; (7)

Оцінки параметрів регресії

; (8)

; (9)

залишки регресії (і = 1, 2, 3,... М)

, (10)

Таблиця 2.2. - Залишки регресії

Вимірювання, і			...	М
Залишок регресії,			...

 

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ

Нехай за даними спостережень отримані дані синхронних вимірювань вмісту забруднюючої речовини на випуску стічної води і в контрольному створі. Необхідно провести регресійний аналіз, і побудувати статистичну (регресійну) модель впливу скиду стічної води на якість річкової води у контрольному створі. Дані вимірювань (мг/дм³) вмісту речовини в стічній воді та контрольному створі подані у таблиці 3.1.

 

Таблиця 3.1. - Дані вимірювань (мг/дм³) вмісту

речовини в стічній воді та контрольному створі

		38,5			38,4			38,5
		39,9			39,2			38,9
		39,1			40,2			40,1
		38,7			39,0			39,1
		38,6			39,6			39,1
		39,8			38,8			38,2
		39,8			39,2			39,6
		39,5			40,0			39,2
		39,0			39,5			38,5
		38,2			40,2			38,7

 

Виконаємо розрахунки згідно схемі.

 

Рис. 3.1. - Вміст речовини в стічній воді і в контрольному створі

 

З розгляду розподілу точок на графіку рис. 3.1. робимо висновок, що визначення впливу скиду стічної води на вміст речовини у контрольному створі можливе у вигляді регресії = .

Розрахунок статистик

Розраховуємо:

Допоміжні статистики

= 307,5 мг /дм³;

= 39,17 мг /дм³;

= 97050 мг ²/дм⁶;

= 49,94 мг /дм³;

= 25,61 мг ²/дм⁶;

Оцінки параметрів регресії

= 0,01027;

= 36,01 мг /дм³;

Залишки регресії

,

(величини залишків регресії наведемо у вигляді табл. 2);

Теоретичні відомості.

 

Статическая модель принятия решения, порожденная теоретико-игровой концепцией, является широко известной и распространенной моделью принятия решений во многих реальных ситуациях разового выбора вариантов, планов, действий альтернатив, связанных с неопределенным влиянием среды на ситуацию выбора, производимого органом принятия решения.

При исследованиях статических моделей принятия решений будем исходить из следующей схемы, предполагающей наличие:

1) у органа управления множества взаимоисключающих решений , одно из которых необходимо принять;

2) у среды C множества взаимоисключающих состояний , однако в каком конкретном состоянии находится (или будет находится) среда C органу управления неизвестно;

3) у органа управления оценочного функционала , характеризующий «выигрыш» или «проигрыш» органа управления при выборе им решения если среда будет находиться (или находиться) в состоянии .

Под ситуацией принятия решения будем понимать тройку , где – множество возможных решений органа управления, - множество возможных состояний среды, – оценочный функционал, .

В развернутой форме ситуация принятия решений характеризуется матрицей

4)

 

Модальный критерий.

Сущность данного критерия в том, что орган управления исходит из наиболее вероятного состояния среды .

Модифицированный критерий

Этот критерия является комбинацией Байесова критерия и критерия минимума дисперсии.

Критерий Бернулли-Лапласа

В основе критерия положен принцип недостаточности основания, который состоит в том, что если нет основания считать какое-либо состояние среды более вероятным, чем любое другое состояние среды, то априорные вероятности состояния среды нужно считать равными.

В случае активного противодействия среды или если необходимо застраховаться от наихудшей ситуации используется Критерий Вальда.

Критерий Вальда

Основан на максиминном принципе и соответствует выбору решения, для которого

т.е. выбирается решение, обеспечивающий максимальный выигрыш в наихудшей ситуации.

Максимаксный критерий

Соответствует случаю наиболее благоприятного состояния среды, т.е. среда активно помогает.

 

В случае когда о поведении среды нет точного представления используют критерий Гурвица.

Критерий Гурвица

Выбирается решение

При совпадает с критерием Вальда

При совпадает с максимаксным критерием

 

Результати обчислень оформити у вигляді таблиці

 

Критерій	Рішення

 

 

Приклад виконання завдання

 

Нехай за даними статистичних спостережень отримані такі значення залежності відносної врожайності від початкової вологості грунту і обраної програми зрошування:

 

	П1	П2	П3	П4	ймовірності станів середовища
10%	0,13	0,40	1,00	1,00	0,03
20%	0,28	0,40	1,00	0,98	0,08
30%	0,37	0,53	1,00	0,96	0,1
40%	0,60	0,61	0,96	0,90	0,12
50%	0,58	0,74	0,94	0,86	0,18
60%	0,62	0,86	0,88	0,75	0,14
70%	0,76	1,00	0,61	0,50	0,1
80%	0,86	1,00	0,53	0,40	0,12
90%	0,90	1,00	0,40	0,32	0,08
100%	0,99	0,72	0,40	0,28	0,05

 

λ=0,7

 

обчислимо значення для кожного з критеріїв

 

	П1	П2	П3	П4
Байеса	0,6272	0,7598	0,7942	0,7098	максимальний П3
дисперсии	0,044974	0,041078	0,04902	0,060566	мінімальний П2
комб	0,425548	0,519537	0,541234	0,47869	максимальний П3
модальний	0,58	0,74	0,94	0,86	максимальний П3
Бернулли	0,61	0,73	0,77	0,70	максимальний П2
Вальда	0,13	0,40	0,40	0,28	максимальнийП2, П3
максимаксний	0,99	1,00	1,00	1,00	П2,П3,П4
Гурвица	0,732	0,82	0,82	0,784	П2, П3

 

Таким чином маємо

критерій	оптимальне рішення
Байеса	П3
дисперсии	П2
комб	П3
модальний	П3
Бернулли	П2
Вальда	П2, П3
максимаксний	П2,П3,П4
Гурвица	П2, П3

 

Висновки. За даних умов раціональним вважається вибір режиму П2 або П3. Режим П3 розраховани й на найбільш ймовірний стан середовища і забезпечує максимізацію в середньому. Режим П2 забезпечує найменші втрати за несприятливих умов. За дуже сприятливих умов можна використовувати режим П4. режим П1 не використовується.

 

Завдання.

 

Нехай за даними статистичних спостережень отримані такі значення залежності відносної врожайності від початкової вологості грунту і обраної програми зрошування:

 

Варіант1

 

		програма зрошування
вологість грунту		П1	П2	П3	П4
10%	0,99
20%	0,89
30%	0,87	0,99
40%	0,75	0,96
50%	0,52	0,9
60%	0,47	0,86	0,98
70%	0,54	0,86	0,96
80%	0,37	0,76	0,94	0,98
90%	0,27	0,62	0,88	0,95
100%	0,13	0,31	0,61	0,78

 

Ймовірність станів середовища

 

р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
0,03	0,08	0,1	0,12	0,18	0,14	0,1	0,12	0,08	0,05

 

λ=0,6

Варіант2

вологість грунту		програма зрошування
	П1	П2	П3	П4
10%	0,13	0,40	1,00	1,00
20%	0,27	0,40	1,00	0,98
30%	0,37	0,53	0,98	0,96
40%	0,54	0,61	0,96	0,90
50%	0,58	0,68	0,94	0,86
60%	0,62	0,86	0,88	0,75
70%	0,76	0,97	0,61	0,50
80%	0,86	0,76	0,53	0,40
90%	0,90	0,80	0,40	0,32
100%	0,99	0,72	0,40	0,28

Ймовірність станів середовища

 

р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
0,25	0,28	0,12	0,1	0,08	0,05	0,04	0,04	0,04	0,02

λ=0,5

 

Варіант3

		програма зрошування
вологість грунту		П1	П2	П3	П4
10%	0,13	0,78
20%	0,26	0,86		0,99
30%	0,24	0,99		0,96
40%	0,37			0,9
50%	0,67		0,99	0,86
60%	0,76		0,98	0,86
70%	0,86	0,86	0,96	0,76
80%	0,90	0,76	0,94	0,62
90%	0,99		0,88	0,31
100%			0,75	0,2

Ймовірність станів середовища

р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
0,03	0,07	0,1	0,18	0,18	0,14	0,12	0,1	0,05	0,03

λ=0,4

Варіант4

 

		програма зрошування
вологість грунту		П1	П2	П3	П4
10%	0,99		0,96
20%	0,99		0,98
30%		0,99		0,99
40%		0,96		0,96
50%		0,9		0,9
60%		0,86	0,98	0,86
70%	0,9	0,86	0,96	0,86
80%	0,5	0,76	0,94	0,76
90%	0,27	0,62	0,88	0,62
100%	0,13	0,31	0,61	0,31

 

Ймовірність станів середовища

 

р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
0,01	0,03	0,06	0,06	0,07	0,08	0,1	0,16	0,2	0,23

 

λ=0,3

 

Варіант5

 

		програма зрошування
вологість грунту		П1	П2	П3	П4
10%	0,99
20%	0,96
30%	0,9	0,98
40%	0,86	0,96
50%	0,86	0,94
60%	0,76	0,88	0,98
70%	0,62	0,61	0,96
80%	0,31	0,58	0,94	0,98
90%	0,27	0,52	0,88	0,95
100%	0,13	0,31	0,61	0,78

 

Ймовірність станів середовища

 

р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
0,03	0,05	0,13	0,12	0,1	0,14	0,1	0,12	0,16	0,05

.

λ=0,5

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ З ДИСЦИПЛІНИ

«Математичне моделювання систем»

Укладач: к.ф.-м.н., доц. С.А.Ус

Дніпропетровськ

Лабораторна робота 1.