Уравнение динамики вращат. Движения

Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение(основной закон динамики вращательного движения).Математически он выражается так: M= .

1. Момент инерции I_z системы материальных точек относительно оси Z: ,где m_i - массы точек, r_i - их расстояния до оси Z.

Момент инерции твердого тела относительно оси Z: ,где интегрирование производится по всему объему тела. Моменты инерции некоторых тел относительно оси Z, проходящей через центр масс (m – масса тела):· диск радиуса R (ось Z перпендикулярна плоскости диска): ;· шар радиуса R: ;· тонкий стержень длины l (ось Z перпендикулярна стержню): .2. Теорема Штейнера. Пусть I_C - момент инерции тела относительно оси СС, проходящей через центр масс. Момент инерции I_A относительно оси АА, параллельной оси СС и отстоящей от нее на расстояние d, равен: ,где m – масса тела.

3. Кинетическая энергия и момент импульса тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси Z:

, .

 

 

Свободное вращение твердого тела.

Под свободным движением твердого тела понимают движение, происходящее в от-сутствие внешних сил. Этот простейший вид движения принято называть «движением по инерции».

Моменты инерции некоторых сложных тел:

Тело	Положение оси вращения	I=
Полый тонкостенный цилиндр,обруч,кольцо	Ось симметрии
Сплошной цилиндр,диск	Ось симметрии
Прямой стержень	Перепендикулярна стержню,проход. через середину
Прямой стержень	Перепендикулярна стержню,проход. через конец
шар	Через центр шара
сфера	Через центр сферы
Толстое кольцо	Через центр кольца
диск	По диаметру

В других случаях для определения момента инерции следует использовать теорему Штейнера: .

Сте́пени свобо́ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных), необходимых для полного описания движения механической системы.Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений второго порядка или половине числа уравнений первого, полностью описывающих динамику системы.

Кинематическая энергия сложного движения.Упругий и неупругий удар.

При сложном движении твердого тела его кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движений.Это относится и к плоскому движению твердого тела. Для вычисления кинетической энергии тела при плоском движении удобно пользоваться формулой

Здесь М – масса твердого тела, V – скорость его центра масс, I – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и w – угловая скорость вращения. Эта формула справедлива только тогда, когда ось вращения проходит через центр масс тела.