Построение годографа Михайлова. Определение критического коэффициента усиления и сравнение с коэффициентом усиления, найденным в п.4

Согласно критерию Михайлова для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно, чтобы при изменениях ω от 0 до кривая, описываемая концом вектора характеристического полинома Д , проходила против часовой стрелки через n квадрантов, где n порядок характеристического уравнения.

Запишем характеристический полином для годографа Михайлова:

(42)

берется из предполагаемой устойчивой I области Д-разбиения. Так как граница I области на Д-разбиении равна 104,77 1/с-критическому коэффициенту усиления, то для определении области устойчивости и построении годографа Михайлова возьмем значение . После выбора , уравнение (42) примет следующий вид:

(43)

Раскрыв скобки и применив преобразование p= ω в выражении (43), получим следующие соотношение:

 

. (44)

Произведем выделение действительной и мнимой части из уравнения (44) и получим следующие соотношения для действительной и мнимой части соответственно.

U(ω)= , (45)

V(ω)= . (46)

Далее, при помощи программы Mathcad, при ω=0,10..1000 в соответствии с уравнениями (45) и (46), рассчитаны U(ω), V(ω), приведенные в таблице 2, и схематично был построен годограф Михайлова, который приведен на рис 6.

Теперь по критерию Михайлова можно сделать вывод об устойчивости области I Д-разбиения. Так как годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси, вращается строго против часовой стрелки, обходя все 4 квадранта, уходит в четвертом квадранте по оси действительной части в + , а по оси мнимой составлявшей в - , т.к. при больших значений частот знак мнимой части остается отрицательным, знак действительной части остается положительным и не пересекает начало координат, система с коэффициентом системы = 50 1/с I области. Значит, область I является областью устойчивости.

 

Построение ЛАХ (Логарифмической амплитудной характеристики) и ЛФХ (Логарифмической фазовой характеристики)

Для построении ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы запишем её передаточную функцию:

 

. (47)

 

Далее запишем отдельно вторую скобку знаменателя уравнения (47), приравняем её к нулю, для того, чтобы определить корни этого уравнения

. (48)

 

Решая квадратное уравнение (48) с помощью программы Mathcat, получим следующие 2 отрицательных мнимых корня:

Из этого следует, что квадратное уравнение (48) запишется как колебательное звено:

. (49)

.

, (50)

Следовательно передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

. (51)

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы (50) используем методику построения [1].

1. Находим частоты сопряжения асимптот и . и значение .

, (52)

, (53)

,

, (54)

, (55)

(56)

Разметка системы координат.

С учетом полученного диапазона частот сопряжения наносим сетку в системе координат (СК): по оси ординат (для ЛАХ L(ω)-дб, для ЛФХ φ(ω)-рад, град.) по оси абсцисс (ω, lgω) в диапазоне частот ω (1,4500). Ось ординат проводим через ω=1. Нанесем частоты: , на оси абсцисс и проведем через них вертикальные вспомогательные пунктирные линии. Масштабы: по оси частот декада – 100мм, по оси ординат 1дб, 1град. – 1мм. Проведем через точку (L(ω)= 20.40.60.80, ω=10) вспомогательные асимптоты под наклоном (20,40,60,80) дб/дек.

3. Построение асимптотической ЛАХ.

Постоим звено W(p)= /p. Отложим L(ω)= при ω=1 и проведем через эту точку прямую под наклоном -20 дб/дек пунктирно (ЛАХ интегрирующего звена построена). Далее, двигаясь по этой прямой из точки при ω=1 вправо до пересечения с вертикальной прямой, проведенной через , соответствующей частоте сопряжения колебательного звена. Следовательно, асимптота L(ω), сделав излом частоте сопряжения , пойдет вниз под наклоном -60 дб/дек до пересечения со следующей частотой сопряжения , соответствующей апериодическому звену. После асимптота идет под наклоном -80 дб/дек. Далее, для построения L(ω), в соответствии ПФ (50) введем поправки к построенной ЛАХ на частотах: , . Достроим ЛАХ с учетом этих поправок.

Построение ЛФХ.

Для построения ЛФХ воспользуемся шаблонами, которые были построены для функций: ; ,

:

. При построении исходя из передаточной функции на частотах и строятся шаблоны, а для получения общей фазовой характеристики необходимо геометрически сложить построенные ЛФХ по шаблонам. Построение ЛАХ и ЛФХ передаточной функции разомкнутой системы приведено в приложении 1 и выделено красной линией.
Формулировка:

Согласно критерию Найквиста-Михайлова для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая амплитудно-фазовую характеристику первого рода, была устойчивая в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно на тех частотах, при которых логарифмическая амплитудно-частотная характеристика не отрицательна, т.е. иметь значение фазы φ(ω), не превосходящее -π. В соответствии с критерием Найквиста-Михайлова, исходная передаточная функция моделируемой системы не устойчива.