Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Докозательство очевидно: ММИ. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
39. Поле алгебраических чисел (теорема). Теорема. Мн-во всех чисел алгебраических, на данном поле Р является полем. Д-во: Пусть все корни min –го полинома числа над полем Р. - Рассмотрим полином (1) Будем рассматривать как переменные. Полином f(x) не меняется при любых перестановках и с представляют собой полином от симетрич. как так и по . Пусть с ()- один из этих коэффициентов можно его рассмотреть как симметрический полином от с коэфиц. из кольца S симметрических полиномов от . Этот полином можно представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов от с коэфиц. из кольца S. Каждый из этих коэфиц. в свою очередь можно представить в виде как полином от элементарных симметрич. Полиномов от с коэфиц. из поля Р. Подставляя в это выражение значения и найденные по формулам Виета, получим что с ()ϵР. Таким образом все коэфиц. полинома f(x)(формула 1) ϵ полю Р, т.к. g( 0, то =0 – алгебраическое число над Р. Аналогично рассматривая полином (2). Можно доказать что – алгебраическое над полем Р число. Поле алгебраических чисел (обобщение теоремы). Корень любого не нулевого полинома, коэффициенты которого алгебраические над Р числа также является алгебраическим над Р числом. Док-во: 1) Пусть корень полинома , где алгебраические над Р числа и при чём . 2)Рассмотрим возрастающую последовательность числовых полей: Р0=Р(), Р1=Р0(), Р2=Р1(), …, Рn=Рn-1() Число – алгебраическое над полем Р, поэтому тем более оно алгебраическое над Рк-1. Следовательно Рк – конечное расширение поля Рк-1, значит следовательно Рn – конечное расширение поля Р. Поле Рn по построению содержит числа . Следовательно число – алгебраическое число над . Рассмотрим поле () (аналогично предыдущему), () – конечное расширение поля Р ⇒ все его элементы и в частности число являются алгебраическими над Р числами. Доказано!!! Опр. Поле Р наз. алгебраически замкнутым, если любой польном с коэффициентами из Р имеет корни в это поле. Замечание: По основной теореме алгебры, поле С алгебраически замкнуто. Из следствия получаем, что всех чисел алгебраических над данным числовым полем Р, так же алгебраически замкнуто. Действительно, любой полином с коэффициентами из Р имеет корень поля С, но по следствию этот корень принадлежит полю .
В частности поле всех алгебраических чисел алгебраически замкнуто. Разрешимость в квадратных радикалах алгебраического уравнения. Опр. Будем говорить, что число α представляется в квадратных радикалах над полем Р, если оно выражается через элементы этого поля при помощи извлечения квадратных корней и рациональных операций (+; -; *; ) Опр. Алгебраическим уравнение с коэффициентами из поля Р назыв. разрешимым в квадратных радикалах над Р, если все его корни представляются в квадратных радикалах над Р. Теорема: Пусть f(x) P[x] полином степени n не приводимый над полем Р, если n не явл. степенью двойки, то не один корень уравнения не представляется в квадратных радикалах над Р. Д-во: Пусть α корень уравнения f(x)=0 который представляется в квадратных радикалах над Р, тогда существует последовательность чисел , где каждая : удовлетворяет одному из условий: Построим цепочку полей: Если или получаем в результате рациональной операции над предыдущими двумя элементами последовательности то , Тогда получаем, что Если , то тогда либо : или – алгебраическое число второй степени над полем (это зн. степень расширения ) Размерность Р – количество индексов в К для некоторых Рассмотрим поле Р(α). Полином f(x) неприводим, поэтому он является минимальным полиномом, числа α над полем Р. Размерность или степень значит Степень расширения Значит ,q≤p ► Следствие: Пусть f(x) P[x] полином третьей степени кубического уравнения f(x)=0 разрешимо в квадратных радикалах над Р ⇔когда оно имеет хотя бы один корень Р. Д-во: 1)Если f(x) не имеет корней в Р, то он не приводим над Р и по доказанной теореме уравнение f(x)=0 не разрешимо в квадратных радикалах над Р. 2)Если f(x) имеет корень x0 P, то мы можем разделить f(x) на (х – х0) и решение уравнения f(x)=0 сводится к решению квадратного уравнения с коэффициентами из поля Р, которые очевидно разрешимы в квадратных радикалах.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 259; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.211.188.101 (0.006 с.) |