Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т).

Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т).

Пусть G-непустое мн-во. Бинарной алгебраической операцией наз. некоторое отображение из дек. отображения f:GxG->G.

Обозн.g₁og₂.

Форма записи б.а.о. аддитивная и мультипликативная. При аддитивной ф.з. – операция сложения (g₁+g₂). При мультипликативной – умножение (g₁*g₂).

Пример. R: +,*,- б.а.о.; / не явл.б.а.о. на R.

N: +,*; -,/ не явл.б.а.о. на N.

R*=R\{0}: / б.а.о.

V₃: +,-,*

P(A) – мн-во всех подмн-в мн-ва А: U,∩,\.

Если на мн-ве определена б.а.о. (общий знак o), то обозн. <A, o> и говорят, что композиция определяет на А алгебраическую стр-ру, или что <A, o> - алгебр.стр-ра (алгебр. с-ма).

Б.а.о. на мн-ве А наз. ассоциативной, если для
a,b,c?A (a o b) o c = a o (b o c). Б.а.о. наз. коммутативной, если
a,b?A a o b = b o а. Те же названия – ассоциативная, коммутативная – присваиваются и соответствующей алгебр.стр-ре.

Замечание. Св-ва ассоц-ти и коммут-ти независимы:

· на мн-ве матриц (АВ)С = А(ВС), но АВ ≠ ВА.

· Z: n*k = -n-k, k*n = -k-n, (1*2)*3 = -(-1-2)-3 = 0, 1*(2*3) = -1-(-2-3) = 4.

Эл-т е?A наз. нейтральным относительно б.а.о. o на А, если
a?A: аoе=еoа=а.

Замечание. Если задана мультипликативная стр-ра, то нейтр.эл-т наз. единицей, если аддитивная, то нулем.

Св-во1: Если в алгебр.стр-ре есть нейтр.эл-т, то он единственный.

Д-во: (от противного) Пусть ᴲе₁,е₂: е₁ oе₂ =е₁, е₁o е₂ =е₂ => е₁=е₂.

Эл-т b?A наз. симметричным эл-ту а?A, если a o b = b o а=е.

Замечание. 1)Если b сим-ный к а, то а сим-ный к b. 2)Если алгебр.стр-ра аддитивная, то сим-ный эл-т наз. противоположным, если мультипликативная – обратным.

Св-во2: Пусть <A, o> ассоц. алгебр. стр-ра с нейтр.эл-том е, тогда
a?A ᴲ не более одного сим-ного эл-та.

Д-во: Пусть b₁,b₂ – 2 сим-ных эл-та к а. тогда

(b₁ o a) o b₂ = e o b₂ = b₂

ð b₁=b₂

b₁ o (a o b₂) = b₁ o e = b₁

 

 

Теорема о независимости результата ассоциативной б.а.о. от расстановки скобок.

Теорема. Если б.а.о. на А ассоц-на, то рез-т ее последовательного применения к n эл-там мн-ва А не зависит от расстановки скобок.

Д-во: ММИ по n. Если n=1 д-ть нечего. n=2 - д-ть нечего.

n=3 => из св-ва ассоц-ти.

…

n=k – предположим, что вып-ся.

n=k+1:

· (a₁ o а₂ o … o а_k) o а_k+1

· (a₁ o … o а_m) o ((a_m+1 o … o а_k) o a_k+1)

a₁ o … o а_m o a_m+1 o … o а_k o a_k+1

 

Степень элемента и ее свойства. Таблица Кэли. Определение группы и ее свойства.

Если на множестве А определена ассоциативная операция умножения, то можно определить степени эл-та а А =а (n раз) n N

Свойства: Пусть <А, > ассоциативная алгебраическая структура, тогда для а А

1. ;

2. ;

Если А={ } – конечное мн-во, то б.а.о. на А можно задать с помощью таблицы Кэли

			…
			…
			..
…	…	…	…	…
			…

 

 

4.Подгруппа: определение и примеры. Критерий подгруппы.

Не пустое множество G с определенной на нем б.а.о. называется группой, если:

1. ассоциативность;

2. нейтральный элемент;

3. a°b=b°a=e обратимый элемент;

Примеры. <R, +>- группа; <R,×>-не группа, нет обратного;

Если операция в группе коммутативна, то группа наз. коммутативной или абелевой.

Замечание. Если операция на группе задается как произведение, то группа наз. мультипликативной, элемент е наз. 1; симметрический эл-т к а называется обратным к а, а элемент наз. обратимым. (+)-аддитивная, e - нуль, симметрический - противоположным.

Свойства: Если G - мультипликативная группа, то

1. в G существует единственная единица;

2. каждый эл-т а?G имеет единственный обратный [ ];

3. уравнение ах=b,где имеет в G единственное решение [ ]

Пусть H , если H является группой относительно операций, определенных в G (рассматриваются ограничения операции в G на H), то H наз. подгруппой G.

Замечание. Тривиальные подгруппы G и {e}.

Критерий подгруппы. Подмножество H мультипликативной группы G является подгруппой т.и.т.т. когда выполняются следующие условия:

1. ab

2.

3.

Примеры групп. <Z[x], +>; <Q[x], +>; < >; GLn(Q)={A }; SLn(Q)={A }

5. Гомоморфизм групп: определение и примеры. Ядро гомоморфизма и его свойства. Изоморфизм групп, определение и примеры.

Даны две группы <G₁, ʘ>, <G₂, *>. Отображение f:G₁→G₂ наз. гомоморфизмом, если это отображение сохраняет операцию, т.е. f(aʘb)=f(a)*f(b), a, b G₁

Примеры: 1. Рассм. f: <R^*;*> -> <{±1}; *>: a→

Ker f ={a } – группа

2. Рассм. g:GLn(R)→R^*:A→det A.

g(AB)=det(AB)=detAdetB=g(A)g(B)

Ker g = SLn(R)

Прообраз 1 при гомоморфизме f:G₁→G₂ наз. ядром гомоморфизма и обозн. Ker f.

Свойства гомоморфизма:

1. Если f:G₁→G₂ - гомоморфизм, то f(G₁)<f(G₂) = Im G₁ = Im G₁

2. Если f:G₁→G₂ гомоморфизм, то f(e₁)=e₂,

f(a^-1)=f(a)^-1

Отображение f:G₁→G₂ наз. изоморфизмом, если f – биекция (взаимно однозначное отображение), f – гомоморфизм.

Пример. f:<Z;+>→<2Z;+>:a→2a.

 

6. Кольцо: определение, примеры, простейшие свойства. Делители нуля и обратимые элементы в кольце: определение, примеры.

Кольцом наз. мн-во К с двумя заданными на нём б.а.о.: сложением и умножением, удовлетворяющими след. св-вам:

1. <K; +> - абелева группа (коммутативная);

2. a(bc)=(ab)c, a, b, c K (ассоц.)

3. законы сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: a(b+c)=ab+ac, a, b, c K

(a+b)c=ac+bc, a, b, c K

Примеры: 1. Числовые кольца: <Z;+;*> < <Q;+;*> < <R;+;*> < <C;+;*>

2. Полиномиальные кольца: <Z[x];+;*> < <Q[x];+;*> < <R[x];+;*> < <C[x];+;*>

3. <Z[x₁];+;*> < <Z[x₁, х₂];+;*> < ….

4. <Z[x₁, х₂, …, х_n];+;*> < <Q[x₁, х₂, …, x_n];+;*> …

5. Кольцо симметрических полиномов: S_n[x₁, …, x_n]

6. Матричные кольца: <M_m×n(Z); +;*> < < M_m×n(Q); +;*>

Простейшие свойства колец:

1) a(b₁+b₂+…+b_n)=ab₁+ab₂+…+ab_n

2) (a₁+a₂+…+a_n)b=a₁b+a₂b+…+a_nb

3) a(b-c)=ab-ac

4) (a-b)c=ac-bc

5) n N a*nb=na*b=n(ab)

6) a*0=0*a=0

7) (-a)b=a(-b)=-ab

Делителями нуля наз. такие элементы a, b K, что a≠0, b≠0, но ab=0.

Примеры: 1. <Z;+;*> -- без делителей нуля.

2. <M_2×2(Z);+;*> -- с делителями нуля

Замечание. Обратимый элемент кольца не может быть делителями нуля.

 

7. Группа К* обратимых элементов кольца К.

Утверждение.

Если К кольцо с 1, то множество К* с обратимым элементом кольца К является мультипликативной группой.

Док-во: Проверим сначала, что операция «*» -есть отображение с операцией на множестве К*,т.е. для любых элементов a,b К*: ab К*

Рассмотрим а^-1b^-1 элементов К обратимых b и а:

Доказано!

 

8. Подкольцо: определение, примеры, критерий подкольца.

Пусть К₂cК₁. К₂ – наз. подкольцом, если К₂ является кольцом относительно операций, заданных на К₁.

Теорема(критерий подкольца). Подмножество К₂ кольца К₁ является подкольцом ó когда вып-ся след.:

1. К₂

2. Если a,b К₂ a – b К₂

3. Если a,b К₂ a*b^-1 К₂

9.Гомоморфизмы и изоморфизмы колец: определение, примеры. Ядро гомоморфизма как идеал кольца. Важнейший пример гомоморфизма колец

Отображение наз. гомоморфизмом, если:

1) f(a+b)=f(a)

2) f(a+b)=f(a) – если выполняются эти условия

Изоморфизм – это такой гомоморфизм, который является биекцией.

Пусть К и К’- кольца. Отображение называется гомоморфизмом, если:

Если - биекция, то называется изоморфизмом.

Пример1: , - сюрьекция, но не является инъекцией.

Пример2: – это изоморфизм

Пример3:

Опр. Пусть гомоморфизм колец, - нуль кольца К’. Прообраз элемента , при гомоморфизме называется ядром гомоморфизма .

Теорема. Ядро гомоморфизма является идеалом кольца К.

Теорема (важнейший пример гомоморфизма). Пусть К-кольцо, I-идеал кольца К, тогда отображение является сурьективным гомоморфизмом, его ядро совпадает с I.

Замечание: Идеалы кольца – это ядро его гомоморфизма.

Теорема: Если произв. гомоморфизм, то – изоморфно.

 

10. Поле: определение, примеры и простейшие свойства (нет делителей 0, уравнение имеет единственное решение). Критерий подполя. Мультипликативная группа поля.

Коммутативное кольцо с 1, в котором не меньше 2-х элементов называется полем, если любой не нулевой элемент в нем обратим.

Не пустое подмножество P₁ поля P называется подполем поля P, если оно является полем относительно операций «+» и «*» поля P.

Теорема (критерий подполя). Не пустое подмножество P₁ поля P, в котором не меньше двух элементов является подполем поля P ó выполняются следующие условия:

1)

2)

Пример1: . Z – не поле, т.к обратный элемент ±1 – это не достаточно

Пример2: Поле из 2-х элементов , на каждом «+» и «*» задается таблиц.:

 

Док-во. 1*1=1

Пример3:

Док-во. -кольцо

· Ком.умнож следует из ком. R; Ед.: ;

Пример4: Какое из множеств является полем относительно «+» и «*»?

1) mZ –множество целых чисел, кратных m нет

2) да

3) нет

4) да

5) да

6) да

7) нет

Замечание: Поле-это кольцо в котором не нулевые элементы образуют группу. Это группа называется мультипликативной группой поля.

Пример. ,

Замечание: Поле P изоморфно , если они изоморфны как кольца.

Имеет ли смысл говорить о гомоморфизме полей?

Замечание: В поле нет делителей нуля. Для имеет единственное решение:

Свойства полей: Пусть P-поле,

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

 

11. Поле дробей области целостности: построение, примеры, теорема.

Пусть К – коммутратвное кольцо с единицей без делителей нуля. На мн-ве пар введём отношение эквивалентности.

Д-во: Рефлексивность, симметричность очевидна. Транзитивность:

=>

Введённое отношение явл. отношением эквивалентности.

Класс эквивалентности, который содержит пару . Множество всех дробей обозначим Q(K).

Определим операции сложения и умножения дробей по правилу:

Введённые операции над дробями определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей класса эквивалентности.

Теорема. Q(K) относительно введённых операций явл. полем. Это поле называется полем дробей области целостности К.

Д-во: <Q(K), +> -- абелева группа, асс., ком., - нуль

Дистрибутивность

Ед.:

Обр. эл.

Примеры:

1) Поле дробей кольца Z целых чисел - есть поле Q рациональных чисел.

2) Поле дробей кольца полиномов P[x] над полем Р от одной переменной наз. полем рац. функций над полем Р и обозначается P[x]

3) Поле дробей над кольцом полиномов от n переменных над полем Р наз. полем рациональных функций от n переменных над полем Р и обозначается P[x₁, x₂, …,x_n ].

12. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе: определение, примеры и свойства (утверждения 1 – 3).

Пусть H подгруппа группы G, , (a – фиксированный эл-т из G) мн-во наз. левым смежным классом группы G по подгруппе H.

– правый смежный класс.

Каждый эл-т смежного класса наз. представителем этого класса.

Примеры. 1. Левые смежные классы GLn(R) по подгруппе SLn(R) состоят из матриц [|B*A|=|B|*|A|=|B|, ]. Смежные классы в этом случае состоят из матриц с одинаковыми делителями и детерминантом.

2. Левые смежные классы аддитивной группы Z по подгруппе mZ () состоят из чисел, которые при делении на m дают одинаковые остатки.

Утверждение 1. Семейство левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H образует разбиение группы G.

Утверждение 2. Пусть H подгруппа группы G, , тогда следующие условия эквивалентны:

1) Элементы a и b принадлежат одному смежному классу группы G по подгруппе H.

2) aH=bH

3)

4)

Утверждение 3. Пусть H подгруппа группы G, тогда соответствие является взаимно однозначным соответствием между мн-вом левых смежных классов G по Н и мн-вом правых смежных классов G по Н, т.е. мощность мн-ва левых смежных классов G по Н совпадают с мощностью правых смежных классов G по Н.

 

 

13. Индекс подгруппы: определение, примеры. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы: определение, примеры и простейшие свойства.

Мощность (число) различных левых смежных классов гр. G по подгруппе Н наз. индексом подгр. Н гр. G и обозначается |G:H|.

Пример. |Z: mZ|=m

Теорема Лагранжа. Пусть n - порядок гр. G [|G|=n], k порядок подгруппы Н [|H|=k], j индекс H в G [j=|G:H|], тогда n=k*j.

Следствие. Если группа G конечная, то порядок подгруппы конечной группы явл. делителем порядка группы.

Подгруппа Н группы G наз. нормальной подгруппой (нормальным делителем), если . [Н ⊲ G]

Примеры. 1. Тривиальные нормальные подгруппы группы G: G, {e}

2. S L_n(ℝ) _n(ℝ)

Утверждение. Следующие условия эквивалентны:

1. Н ⊲ G

2. a^-1Ha = H

Утверждение. Пусть Н ⊲G, пусть a,b G, тогда:

1)aH * bH = (ab)H

2)aH*H = H*aH = H

3)a^-1H*aH = aH* a^-1H = H

Опр. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н будет обозначаться , =aH.

Утверждение. Множество смежных классов с операцией умножения подмножеств является группой.

 

 

14.Фактор-группа: определение и примеры. Основная теорема о гомомрфизмах групп ( f:G -> G/H ). Канонический гомоморфизм: определение и примеры.

Группа G явл. фактор-группой группы G по нормальной подгруппе Н.

Пример. Фактор-группа Z/mZ={ }

0+mz 1+mz m-1+mz

Теорема. Пусть Н - норм.подгр. гр.G и =G/H, тогда отображение f:G -> G/H: a -> явл. гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма Ker f = H.

Этот гомоморфизм наз. естественным (каноническим).

Замечание. Т.обр., в каждой нормальной подгр. Н гр. G соотв-т гомоморфизм f, ядром которого явл. эта норм.подгр.

Пример. Z -> Z/mZ: m-> .

 

 

Замечание.

1) Примерами полей положительной хар-ки явл. все конечные поля, т.е. поля которые состоят из конечного числа эл-ов. Но существуют и бесконечные поля,которые имеют положительную характеристику.

2) не явл. числовым полем, его эл-ты явл. классы эквивалентности по модулю.

Теорема. Если поле Р имеет хар-ку р>0,то р-простое число.

Док-во. (от противного)

Из рав-ва р=s*t,где s<p, t<p⇒ (s*1)(t*1)=st*1=p*1=0,но в поле нет делителей 0,поэтому s*1=0 или t*1=0.Противоречие.

Свойства

1. а) если хар-ка поля Р=р, то а Р, /n p имеет место n*a=0.

б) если р=0, то и n*a 0

а) char P=p, пусть n=p* , тогда n*a=

б) char P=0, то из n*a=(n*1)* =0⇒n*1=0.

char P=0⇒n=0-противоречие.

2. Если char P=p, то то верно рав-но .

Док-во. ММИ по n.

n=1:

Значит,

Пусть утверждение верно при n=k-1.

n=k: .

Следствие. Если характеристика Р=р, то

20. Пересечение подполей как подполе поля. Простое поле: определение, примеры, Изоморфизм простого подполя или .

Св-во 1. Если Р поле, Р₁,Р₂ – подполя поля Р, тогда Р₁∩ Р₂ – подполе поля Р.

►1) 0 и 1 поля Р содержаться и в Р₁ и в Р₂ (по определению подполя)⇒0 и 1 Р₁∩ Р₂.

2.) а) Рассмотрим 2 этапа a и b Р₁∩Р₂ ⇒(a,b P₁)˄(a,b P₂)⇒ (ab P₁)˄ (a-b P₂)⇒a-b P₁∩P₂

b) a, b Р₁∩Р₂ ⇒ a,b P₁ ˄ a,b P₂ ⇒ (ab^-1 P₁)˄ (ab^-1 P₂)⇒т.е. пересечение подполей является подполем ab^-1 P₁∩ P₂. ◄

Следствие. Пересечение Р_i (i I) произвольного семейства подполей поля Р,является подполем поля Р.

Опр. Поле в котором нет не одного собственного подполя, наз простым.

Св-во 2. Q, Z_p- простые поля.

Теорема. В произвольно поле Р содержится ровно 1 или ровно одно подполе Р:

1) если char P=0, то Р₀ изоморфно Q.

2)если char P=р, то Р₀ Z_p

От противного

если бы

Значит НОД u(x),v(x)

u(x) v(x)p(x)=1

Возьмем x=a: u(a) v(a) =1

u(a)

=

Полином разделим с остатком на

x=a:

, deg h(x) n-1

t=h(a)

 

29. Теорема об избавлении от иррациональности в знаменателе дроби: единственность. Построение поля для алгебраического элемента (следствие 1).

Теорема: Пусть -расширение полей, - алгебраический элемент степени n под F, тогда каждый элемент (а) (из простого расширения F(a)), можно представить в виде t=h(a),где h(x) – полином над полем F степень которого deg h(x) такое представление единственное.

Д-во: единственность

Пусть t=h(a)

t= , где t=h(a), t=

deg h(x)

deg

тогда а - корень полинома h(a)-

возможны два случая:

если , то это полином степени над F корнем которого является а.?!

[ Противоречие: т.к. а – алгебраический элемент степени n над F и степень полинома наименьшей степени над F корнем которого является а= n]

Следствие 1: Пусть E F -расширение полей, а Е-алгеброический элемент степени n над F, тогда F(a)= и степень[F(a):F]=n

[то есть степень ровна степени min полинома элемента а надF,другими словами векторы 1,а,…, базис F(a)над F]

Д-во: ,...,a,1 - система образующих для линейного пространства F(a) над F. Из теоремы следует, что F(a) можно записать в виде t=h(a), где h(x) F[x], deg h(x) n-1

Т. обр. каждый элемент из F(a) имеет вид:

=> ,...,a,1- система образующих F(a) над F.

- ,...,a,1-линейно независимы над F

Допустим

Это значит, что a- корень полинома

f(x)=

f(a)=0,но f(x) , f(x) F[x], deg f(x) deg p(x)=n?!

Конец док-ва.

Д-во.

n=2

Утверждение верно по следствию 3. Допустим, что это утверждение верно для n-1.

– конечное расширение поля F.

()Ↄ – конечное расширение поля F. Тогда ()Ↄ ↃF() ↃF.

Доказано!

Шаги построения.

1) Построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2, его гипотенуза = .

2) Уменьшить на 1 гипотенузу этого треугольника. Получим

3) Поделим полученный отрезок на 4 части.

4) Рисуем окружность единичного радиуса.

5) От начала координат отложить на оси Ох отрезок

6) Строим перпендикуляр

7) Находим ещё 3 оставшиеся вершины с помощью циркуля отлаживая

получившуюся дугу окружности.

Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т).

Пусть G-непустое мн-во. Бинарной алгебраической операцией наз. некоторое отображение из дек. отображения f:GxG->G.

Обозн.g₁og₂.

Форма записи б.а.о. аддитивная и мультипликативная. При аддитивной ф.з. – операция сложения (g₁+g₂). При мультипликативной – умножение (g₁*g₂).

Пример. R: +,*,- б.а.о.; / не явл.б.а.о. на R.

N: +,*; -,/ не явл.б.а.о. на N.

R*=R\{0}: / б.а.о.

V₃: +,-,*

P(A) – мн-во всех подмн-в мн-ва А: U,∩,\.

Если на мн-ве определена б.а.о. (общий знак o), то обозн. <A, o> и говорят, что композиция определяет на А алгебраическую стр-ру, или что <A, o> - алгебр.стр-ра (алгебр. с-ма).

Б.а.о. на мн-ве А наз. ассоциативной, если для
a,b,c?A (a o b) o c = a o (b o c). Б.а.о. наз. коммутативной, если
a,b?A a o b = b o а. Те же названия – ассоциативная, коммутативная – присваиваются и соответствующей алгебр.стр-ре.

Замечание. Св-ва ассоц-ти и коммут-ти независимы:

· на мн-ве матриц (АВ)С = А(ВС), но АВ ≠ ВА.

· Z: n*k = -n-k, k*n = -k-n, (1*2)*3 = -(-1-2)-3 = 0, 1*(2*3) = -1-(-2-3) = 4.

Эл-т е?A наз. нейтральным относительно б.а.о. o на А, если
a?A: аoе=еoа=а.

Замечание. Если задана мультипликативная стр-ра, то нейтр.эл-т наз. единицей, если аддитивная, то нулем.

Св-во1: Если в алгебр.стр-ре есть нейтр.эл-т, то он единственный.

Д-во: (от противного) Пусть ᴲе₁,е₂: е₁ oе₂ =е₁, е₁o е₂ =е₂ => е₁=е₂.

Эл-т b?A наз. симметричным эл-ту а?A, если a o b = b o а=е.

Замечание. 1)Если b сим-ный к а, то а сим-ный к b. 2)Если алгебр.стр-ра аддитивная, то сим-ный эл-т наз. противоположным, если мультипликативная – обратным.

Св-во2: Пусть <A, o> ассоц. алгебр. стр-ра с нейтр.эл-том е, тогда
a?A ᴲ не более одного сим-ного эл-та.

Д-во: Пусть b₁,b₂ – 2 сим-ных эл-та к а. тогда

(b₁ o a) o b₂ = e o b₂ = b₂

ð b₁=b₂

b₁ o (a o b₂) = b₁ o e = b₁