ТОП 10:

В правоприменительной деятельности



1. Детерминированное событие определяется зависимостью «причина - следствие». Случайное событие ω характеризуется тем, что его исход непредсказуем. Под опытом понимается действие, результат которого неизвестен. Один или несколько опытов представляют эксперимент.

2. Элементарное событие ω – это возможный результат эксперимента (исход).

Пространство элементарных событий Ω = {ω }, событие А = {ω1,…,ωn} Í Ω.

Случайной величиной называется переменная, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения.

3. Классическое определение вероятности:p = m(A) / N, где m(A) – число благоприятных исходов, а N – общее число исходов.

       
   
 


4. Событие A = , случайная величина X(ω) =

Закон распределения конечной случайной величины

Дискретная величина X принимает конечное число значений с определенными вероятностями, а непрерывная бесконечное число значений и определяется тем, что существует функция f(x) (функция плотности), что

5. Функция распределения F(x) определяется соотношением

6. Если известно, что в результате эксперимента произошло некоторое событие B,p(B) > 0 , и информация о нем учитывается при вычислении вероятности события А, то такая вероятность называется условной:

p (A|B)= p (AB) / p(B).

Свойства условной вероятности.

§ Если события A1 и А2 несовместны, то

р(A1 + А2| В) = р(A1 | В) + р(А2|В).

§ Теорема умножения: р(АВ) = р(А | В)р(В) для независимых событий

р(АВ) = р(А)р(В).

7. Формула полной вероятности. Если события H1, H2, ..., Hn попарно несовместны и A Ì H1 + H2 +…+ Hn , то

8. Формула Байеса. Если события H1, H2, ..., Hn попарно несовместны и событие A Ì H1 + H2 +…+ Hn, то при k = 1, 2, ..., n справедлива формула апостериорной вероятности:

Таким образом, условная вероятность может быть использована как для уточнения вероятности с уче­том вновь поступившей информации, так и для вычисления вероятности, что наблю­даемый эффект является следствием некоторой конкретной причины.

Лекция 2

Вероятностные распределения, операции над случайными величинами,
вероятностные характеристики правовых данных

1. Пусть заданы две конечные случайные величины:

Их суммой называется случайная величина X+Y, значениями которой являются возможные суммы xi + yj , i=1,2,…,m; j=1,2,…,n, с совместными вероятностями

pij = p(X = xi , Y = yj).

Произведением этих случайных величин называется случайная величина XY, значениями которой являются всевозможные произведения xi yj с теми же вероятностями pij .

2. Пусть X1, X2, …, Xn – независимые бернулиевы случайные величины:

Тогда их сумма есть биномиальная случайная величина:

3. Нормальное распределение случайной величины X (обозначение X ~ N (m,σ)) определяется плотностью распределения:

или функцией распределения:

Стандартным называется нормальное распределение N(0, 1).

Функция Excel НОРМРАСП возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения:

НОРМРАСП (x; m; σ; интегральная),где

§ x – значение, для которого строится распределение,

§ m – среднее арифметическое распределения,

§ σ – стандартное отклонение распределения,

§ интегральная – логическое значение, определяющее форму функции.

ФункцияExcel НОРМСТОБР возвращает обратное значение стандартного нормального распределения

НОРМСТОБР (p),

где p – вероятность, соответствующая нормальному распределению.

4. c2- распределение определяется следующим образом. Пусть ξ1, ξ2, …, ξk – независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону: ξ1, ξ2, …, ξk ~ N(0, 1). Тогда говорят, что сумма квадратов этих случайных величин распределена по закону c2 сkстепенями свободыc2(k):

c2(k) = ξ1 2 + ξ2 2 + …+ ξk 2

Функция ХИ2РАСП возвращает одностороннюю вероятность распределения c2

ХИ2РАСП(x; k), где

§ x – значение, для которого требуется вычислить распределение,

§ k – число степеней свободы распределения c2 .

Функция ХИ2ОБР возвращает значение обратное к односторонней вероятности распределения c2

ХИ2ОБР(p; k), где

§ p – вероятность, связанная с распределением c2 , значение в диапазоне от 0 до 1,

§ k – число степеней свободы распределения c2 .

5. Распределение Стьюдента (t-распределение) с k-степенями свободы определяется формулой

~N(0, 1).

Функция СТЬЮДРАСПвозвращает вероятность для t-распределения Стьюдента

СТЬЮДРАСП(x; k; b), где

§ x – численное значение, для которого требуется вычислить распределение,

§ k – количество степеней свободы,

§ b = 1 дает одностороннее распределение,

§ b = 2 дает двухстороннее распределение,

Функция СТЬЮДРАСПОБРвозвращает обратное распределение Стьюдента

СТЬЮДРАСПОБР( p; k),где

§ p – вероятность, связанная с двуххвостовым t-распределением Стьюдента

§ k – положительное целое число степеней свободы, характеризующее распределение.

Лекция 3

Первичная обработка данных. Выборочные характеристики и
доверительные интервалы при статистическом анализе правовой информации

1. При рассмотрении выборкиX n = { х1, х2, ..., хn }предполагается, что соответствующаягенеральная совокупность характеризуется функцией распределения F(x).

Функция распределения F n(x) эмпирической случайной величины

определяется как

.

 

2. Выборочное (эмпирическое) среднее и выборочная дисперсия определяются формулами:

3. Первичная обработка данных. Частотный анализ.

Если среди чисел { х1, х2, ..., хn } имеется k различных (k < n) чисел z1, z2, …, zkичислоzi встречается ni раз i = 1, 2, ..., k, то niназывается частотой элемента zi, а fi = ni /n – относительной частотой. Последовательность Z = {(zi, ni )} называется, в таком случае, статистическим рядом. Если z1, z2, …, zkупорядочены по возрастанию, то Ni = n1 + n2 + ... + ni называютсянакопленной частотой, а Fi = f1 + f2 + ... + fiнакопленной относительной частотой.

4. Квантили. Медиана. Мода

§ 90-% выборочная квантиль – это значение, левее которого расположены 90% значений вариационного ряда;

§ выборочная медиана – это середина вариационного ряда;

§ выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

5. Назовем уровнем значимости некоторое малое число α (обычно α = 0.01, 0.05, 0.1). Тогда интервальная оценка параметра θ представляет интервал

1, θ2) = [θ1(x1, …, xn), θ2(x1, …, xn),

содержащий параметр θ. Его границе определяются по выборке x1, …, xn и

p(θ1 < θ < θ2) = 1 – α.

Таким образом, в интервал (θ1 , θ2) истинное значение параметра θ попадаетс относительно большой вероятностью 1 – α. Интервал (θ1 , θ2) называется доверительным интервалом для параметра θ с доверительной вероятностью 1 – α.

Лекция 4

Статистические гипотезы и схема их проверки в процессе производства
следственных действий

1. Исследования в юридической практике часто связаны с выдвижением и проверкой гипотез о параметрах генеральной совокупности X. Эти утверждения основываются на опыте, предположениях и интуиции.

Проверка гипотез представляет статистическую процедуру основанную на использовании выборочных данных X n = { x1, х2, ..., хn }. Она представляет процесс принятия решения о том, чтобы принять или отвергнуть рассматриваемую гипотезу.

2. Обычно проверяемую гипотезу обозначают H0, а альтернативную ей гипотезу – H1. При проверке гипотез возможны следующие ситуации:

§ H0 верна и не отвергается;

§ H0 верна но отвергается; такая ситуация называется ошибкой I рода.

§ H0 неверна и отвергается;

§ H0 неверна, но не отвергается; такая ситуация называется ошибкой II рода.

3. Общая схема проверки гипотез представляет следующую процедуру:

§ сформулировать Н0 и Н1 и задать случайную величину Z - статистику критерия (значимости), которую можно вычислить по выборке;

§ задать уровень значимости α, который определяет критическую область V равенством p(Z Î V) = α; условия задания области V представляют критерий, а дополнение к критической области (R\V) называется областью принятия решения;

§ при вычислении вероятности р по выборке, возможны два случая:

a) если p £ α, то данные выборки противоречат гипотезе Н0(Z Î V), что означает, что гипотеза H0 отклоняется(т.е. принимается H1);

b) в противном случае, когда p > α (Zs Î R\V), данные подтверждают Н0, которая и принимается;

4. Если мы знаем доверительный интервал, для уровня значимости α, то критическая область V может рассматриваться как дополнение к доверительному интервалу. Например, для гипотезы H0: т = т0, если

,

то критическая область V задается неравенствами

.

Лекция 5







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.93.75.30 (0.013 с.)