Вопрос36. Бесконечно малые функции и их свойства. Как и бесконечно большие. Связь между ними. Бесконечный предел функции в точке и на бесконечности.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Функция f(x) =(x -1)² является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).

Функция f(x) = tg x – бесконечно малая при x →0.

f(x) = ln (1+ x)– бесконечно малая при x →0.

f(x) = 1/ x – бесконечно малая при x →∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

Если , то при любом ε >0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначим f(x) – b= α, то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

 

Вопрос37. Первый и второй замечательный пределы и следствия из них.

Замеча́тельныепреде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Следствия

Следствия

для ,

 

Вопрос38. Сравнение бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых. И их таблица.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

α(x)→0

	sinα(x)~α(x)
	arcsinα(x)~α(x)
	tgα(x)~α(x)
	arctgα(x)~α(x)
	loga(1+α(x))~(logae)α(x)
	ln(1+α(x))~α(x)
	aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
	eα(x)-1~α(x)
	(1+α(x))μ-1~μα(x)
	1+α(x)n-1~α(x)n
	1+α(x)-1~α(x)2
	1-cosα(x)~12α2(x)

Вопрос39. Односторонние пределы в точке. Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного двух функций. Непрерывность элементарной функции.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

 

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.