Полная механическая энергия замкнутой консервативной системы - величина постоянная при любых движениях тел этой системы.

Е=E_к+E_п=const.

Например, полная энергия системы "камень - Земля" при свободном падении, когда камень находится на высоте h.

Е=mgh+ =mgh+m2g(H-h)/2=mgH=const,

т.е. не зависит от времени. С уменьшением высоты потенциальная энергия уменьшается и, соответственно, возрастает кинетическая.

Общая формулировка закона сохранения энергии гласит: ЭНЕРГИЯ НЕ СОЗДАЕТСЯ И НЕ ИСЧЕЗАЕТ, А ЛИШЬ ПЕРЕДАЕТСЯ ОТ ОДНОГО ТЕЛА К ДРУГОМУ ИЛИ ПРЕВРАЩАЕТСЯ ИЗ ОДНОЙ ФОРМЫ В ДРУГУЮ В РАВНЫХ КОЛИЧЕСТВАХ.

На законе сохранения энергии действует "золотое правило" механики: с помощью простого механизма нельзя получить выигрыш в работе.

Потенциальная энергия тела в поле тяготения планеты.

 

Определять потенциальную энергию тела, находящегося в поле тяготения, по формуле Е_п = mgh удобно, если известно значение ускорения свободного падения и его изменением в процессе движения тела можно пренебречь. Для получения более общей формулы потенциальной энергии вычислим работу силы тяготения по перемещению тела из одной точки в другую. Пусть тело радиально поднимается над планетой из точки, находящейся от центра планеты на расстоянии r₁, до точки r₂. , где М - масса планеты, m - масса тела.

Т.к. A=-(E_p2-E_p1), то E_p=- +const. Значение этой константы зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия тела относительна, поэтому часто удобно считать потенциальную энергию тела на поверхности планеты равной нулю. При этом значение константы равно , где R - радиус планеты. Тогда E_p= .

Если h<<R, то r=R и rR=R², r-R=h => E_p= =gmh.

Отношение потенциальной энергии тела к массе тела не зависит от массы тела и характеризует гравитационное поле в месте нахождения тела. Оно называется гравитационным потенциалом.j=- . Для h<<R j=gh. Гравитационный потенциал - энергетическая характеристика гравитационного поля. Зная потенциал поля в точке, легко найти потенциальную энергию тела в этой точке. E_p=jm.

Совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал, образует эквипотенциальную поверхность. Для Земли - это любая сферическая поверхность с центром, совпадающим с центром Земли. При перемещении тела по эквипотенциальной поверхности сила тяготения работы не совершает.

Полная механическая энергия тела в поле тяготения Земли:

E= - . Отсюда легко получить формулу второй космической скорости, т.е. скорости, обладая которой космический корабль навсегда покинет Землю, двигаясь по параболе. Бесконечно далеко от Земли потенциальная и кинетическая энергии стремятся к нулю.

=> Вторая космическая скорость .

 

17. Динамика вращательного движения.^(*)

Если на тело, имеющее ось вращения, действует сила, проходящая через эту ось или параллельная ей, то угловая скорость вращения тела не изменится. Изменение угловой скорости связано с моментом внешних сил. Экспериментально было доказано, что угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил. Значит, , где I - коэффициент пропорциональности, называемый моментом инерции тела. I=M/e. [I]=Нм/с^-2=кгм². Момент инерции зависит от массы тела, ее распределения относительно оси вращения, от геометрических размеров тела. Момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении.

Легко получить значение момента инерции для материальной точки, вращающейся по окружности радиуса R под действием касательной силы F.

.

Умножим обе части равенства на R. . Значит, I=mR².

Разбив тонкое кольцо на материальные точки, получим:

.

Методами высшей математики доказывается, что I_{цилиндра}= , I_шара= mR², I_{стержня}= ml², где l - длина стержня.

Если ось вращения смещена относительно центра масс, то момент инерции определяется по формуле Штейнера:

I=I₀+md²,

I₀ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, d - расстояние от центра масс до оси вращения тела.

Итак: угловое ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально суммарному моменту сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела.

.

В этом состоит основной закон динамики вращательного движения. Он справедлив в инерциальных системах отсчета.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Для вращательного движения из основного закона динамики . Но . Следовательно, , т.е. момент силы равен скорости изменения величины I . Величина называется моментом количества движения или моментом импульса. Момент импульса - векторная физическая величина, направленная по угловой скорости. [L]=кгм²/c.

Для материальной точки I=mr²; w= . Значит, L= =rmV=rp. Для тела произвольной формы такое простое соотношение написать нельзя.

. Если момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен нулю, то =O, т.е. в замкнутой системе момент импульса остается постоянным. =const. Силы, момент которых относительно оси вращения равен нулю, не могут изменить момент импульса тела. Это утверждение справедливо для любой замкнутой системы. "Замкнутость" системы означает не отсутствие внешних сил, а отсутствие моментов внешних сил.

Сохранение момента импульса означает и сохранение его направления. Поэтому всякое вращающееся тело, на которое не действуют моменты внешних сил, не может изменить положение оси вращения. В этом секрет устойчивости катящегося колеса, волчка, гироскопа.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Вращающееся тело обладает кинетической энергией. Чтобы найти выражение для кинетической энергии, рассмотрим вращение материальной точки на тонком невесомом стержне.

, но V=wr. Значит, .

.

Эта формула верна и для всякого тела, у которого масса распределена по всему его объему, что учитывается моментом инерции.

Тела могут совершать и вращательное и поступательное движение. Значит, , где V - скорость центра масс, I- момент инерции для оси, проходящей через центр масс

Изменение энергии вращающегося тела может произойти, когда силы, действующие на него, совершают работу. Из аналогии величин, характеризующих поступательное и вращательное движение, следует, что

А=МDj. А>O, если угол между и =О;

А<O, если угол между и =18О⁰.

18. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ. ^(*)

Если подкрасить движущуюся жидкость, струйки краски будут образовывать линии тока. Течение, в котором линии тока неподвижны, называется стационарным (ламинарным). Течение, в котором линии тока изменяются со временем, называется вихревым (турбулентным). Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. При ламинарном течении масса жидкости, проходящая через любое поперечное сечение трубки тока в единицу времени, одинакова. m=rVSt, где V - скорость течения жидкости, S - площадь сечения трубки тока, t - время наблюдения.

Для двух сечений r₁V₁S₁=r₂V₂S₂.

Если жидкость можно рассматривать как несжимаемую, то r₁=r₂.

Тогда V₁S₁=V₂S₂.

Это соотношение называют уравнением неразрывности. Оно показывает, что в узких сечениях трубки скорость жидкости больше, чем в широких.

Вычислим работу внешних сил над жидкостью за время t. Силы давления на боковую поверхность трубки тока работу не совершают, т.к. они перпендикулярны скорости жидкости.

Работа в сечении S₁:A₁=p₁S₁V₁t.

Работа в сечении S₂:A₂=-p₂S₂V₂t.

Полная работа внешних сил над жидкостью в трубке тока A=p₁S₁V₁t-p₂S₂V₂t.

Полная энергия потока, протекающего за время t через сечение S₁, равна W₁= +mgh₁, через сечение S₂:-W₂= +mgh₂.

Так как изменение полной энергии жидкости равно работе внешних сил, то (*).

Из уравнения неразрывности V₁S₁t=V₂S₂t.

Разделим обе части уравнения (*) на объем прошедшей через сечение жидкости v и, учитывая, что r= , получим уравнение Бернулли для двух сечений трубки тока.

,

т.е. .

В этом уравнении называется динамическим давлением, rgh - статическим. Это уравнение справедливо для несжимаемой идеальной жидкости. Идеальной называется жидкость, в которой нет силы трения. Для горизонтальной трубки т.е. давление в движущейся жидкости тем больше, чем меньше скорость ее течения.

Движение тел в жидкостях и газах
.Сопротивление давления.

При движении тел в реальной жидкости или газе возникает сила сопротивления даже при малых скоростях, когда обтекание тела можно считать ламинарным из - за сил трения слоев жидкости и газа, препятствующих их относительному движению.

С увеличением скорости тел ламинарное течение может перейти в турбулентное. За телом образуются вихри - местные круговые движения частиц. Так как движение частиц в вихре происходит с большей скоростью, чем до встречи с телом, то в соответствии с уравнением Бернулли давление жидкости за телом p₂ меньше, чем перед ним p₁.

Кроме того, перед движущимся телом создается уплотнение среды. Это приводит к появлению силы, направленной против движения тела. Эту часть сопротивления называют сопротивлением давления. Сопротивление давления тем меньше, чем более обтекаемой является форма тела.

Подъемная сила крыла самолета.

Действием закона Бернулли объясняется появление подъемной силы крыла самолета. Теория крыла разработана Н.Е.Жуковским и С.А.Чаплыгиным. Для уменьшения лобового сопротивления крыло имеет каплевидную форму. Крыло наклонено к горизонту под углом i (угол атаки). Поток воздуха обтекает крыло и, отрываясь от задней кромки крыла, образует вихрь, имеющий некоторый момент импульса. По закону сохранения момента импульса системы воздух - крыло вокруг крыла образуется вихрь противоположного направления. При сложении скоростей набегающего воздуха и этого вихря наблюдается увеличение скорости над крылом и уменьшение под крылом. По закону Бернулли давление воздуха под крылом становится больше, чем над крылом. Разность этих давлений создает силу F, действующую на крыло, вертикальная составляющая которой является подъемной силой крыла. Подъемная сила крыла будет тем больше, чем больше, чем больше скорость самолета. Поэтому для взлета самолету требуется разбег по взлетной полосе аэродрома.

19. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Колебательным называется процесс, который точно или почти точно повторяется через равные промежутки времени. Механические колебания тела характеризуются амплитудой (А) - модулем наибольшего смещения тела от положения равновесия; периодом (T) - временем, за которое совершается одно полное колебание тела; частотой (n) - числом полных колебаний, совершаемых телом за единицу времени. [A]=м. [T]=c. [n]=Гц. 1 герц - это частота колебаний, при которых за 1с совершается одно полное колебание. Т=1/n.

Рассмотрим механические колебания на примере горизонтального пружинного маятника - тела массы m, колеблющегося без трения на невесомой пружине жесткостью k. При отклонении тела от положения равновесия возникает сила упругости (F_x=-kХ), направленная к положению равновесия. Если отпустить тело, то оно, набирая скорость, начнет двигаться к положению равновесия. При этом сила упругости убывает. При прохождении телом положения равновесия сила станет равной нулю, а скорость достигнет максимального значения. Вследствие инертности, тело проходит положение равновесия, начинает сжимать пружину, что вызывает появление силы упругости, препятствующей движению. После остановки тела процесс повторяется в обратном направлении. Движение тела при совершении колебаний является ускоренным, но не равноускоренным, т.к. ускорение тела изменяется от максимального значения в амплитудных точках до нуля в положении равновесия.

Колебания тела сопровождаются постоянным переходом энергии из потенциальной в кинетическую и наоборот. Полная механическая энергия системы при отсутствии потерь постоянна и равна максимальной потенциальной энергии (в амплитудных точках) или максимальной кинетической энергии (при прохождении телом положения равновесия).

.

Легко экспериментально доказать, что проекция материальной точки, равномерно движущейся по окружности радиуса A, совершает такие же колебания, что и пружинный маятник. Отсюда можно найти период колебаний пружинного маятника. T=2p .