Какие команды осуществляют разложение функции в степенные ряды?

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а
осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.
Аналогичного действия команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

Лабораторная работа №7

Линейная алгебра

Контрольные задания

Задание № 1

Даны 2 вектора: , . Найти и угол j между этими векторами.

 

> with(linalg):

> a:=([1,2,2,3]); b:=([3,1,5,1]);

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

>

 

Ответ:

 

 

Задание № 2

Даны 3 вектора: , и . Найти: и .

> restart; with(linalg):

> a:=([2,-3,1]); b:=([-3,1,2]); c:=([1,2,3]);

> ab:=crossprod(a,b);

> x:=crossprod(ab,c);

> bc:=crossprod(b,c);

> f:=crossprod(a,bc);

>

Ответ: [[a,b],c]=

[a,[b,c]]=

Задание № 3

Даны системы векторов: , , , . Предварительно выяснив, является ли система базисом, применить процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта.

> restart;

> with(linalg):

> a1:=vector([2,1,3,-1]):

a2:=vector([7,4,3,-3]):

a3:=vector([1,1,-6,0]): a4:=vector([5,3,0,4]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4]);

> GramSchmidt(g);

 

Ответ:

 

Задание №4

Даны матрицы и . Найти: AB, BA, det A, debt

> restart;

with(linalg): A:=matrix([[5,7,-3,-4],[7,6,-4,-5],[6,4,-3,-2],[8,5,-6,-1]]):

 

> B:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,4,5],[1,3,5,7],[2,4,6,8]]):

> F:=evalm(A&*B);

> F:=evalm(B&*A);

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B);

Ответ: AB=

BA=

 

 

 

Задание № 5

Дана матрица: . Найти: det A, А ^-1, M ₃₂, A '.

> A:=matrix ([[1,2,3,4],[2,3,1,2],[1,1,1,-1],[1,0,-2,-6]]);

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> minor(A,3,2);

 

Ответ:

det A=

А ^-1=

 

M ₃₂₌

 

A '=

 

 

Задание № 6

Найти ранг матрицы: . Привести матрицу С к треугольному виду.

> restart;

> C:=matrix([[-6,4,8,-1,6], [-5,2,4,1,3],

[7,2,4,1,3], [2,4,8,-7,6],[3,2,4,-5,3]]):

 

> gausselim(C);

 

Ответ:

 

Задание № 7

Дана матрица . Найти ее спектр, характеристический многочлен и значение матрицы на нем (вместо переменной l в P_А (l) подставить А).

 

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix([[5,4,3,2,1], [4,8,6,4,2], [3,6,9,6,3], [2,4,6,8,4],[1,2,3,4,5]]);

> eigenvalues(A);

> P(lambda):=charpoly(A,lambda);

> P(A):=evalm(A^5-35*A^4+336*A^3-1296*A^2+2160*A-1296);

>

 

Задание № 8

Дана матрица . Найти , det(), собственные векторы и собственные числа матрицы , ядро матрицы Т.

 

> with(linalg, exponential):

> Т:=matrix([[4,2,-5],[6,4,-9],[5,3,-7]]);

> exponential(Т);

> exp(T):=matrix([[1+3*exp(1),exp(1),3*exp(1)+1],[3*exp(1),3+exp(1),-3*exp(1)-3],[-1+3*exp(1),exp(1)+1,-3*exp(1)]]);

 

> det(exp(T));

 

> eigenvalues(exp(T));

> eigenvectors(exp(T));

> k(T):=kernel(T);

 

Ответ:

det()=

собственные числа матрицы =

собственные векторы=

ядро матрицы Т =

 

 

Задание № 9

Дана матрица . Найти нормальную форму Жордана, собственные векторы и числа, найти характеристический и минимальный многочлены.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[3,4,0,2],[4,5,2,4],[0,0,3,2],[0,0,2,-1]]);

 

> jordan(A);

> eigenvalues(A);

> eigenvectors(A);

> charpoly(A,lambda);

> minpoly(A,lambda);

Ответ: нормальная форма Жордона

Собственные векторы:

Собственные числа:

Характеристический многочлен:

Минимальный многочлен:

 

Задание № 10

Решить матричное уравнение: АХ = В, где , .

 

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix([[1,2,-3],[3,2,-4],[2,-1,0]]);

> B:=matrix([[1,-3,0],[10,2,7],[10,7,8]]);

> X:=linsolve(A,B);

 

 

Ответ:

 

Контрольные вопросы.

1. Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple?

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

2. С помощью каких команд можно ввести вектор, матрицу?

Для определения вектора в Maple используется команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n - число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую.

3. Какими двумя командами можно сложить два вектора одинаковой размерности (2 матрицы)?

Ø evalm(a+b);

Ø matadd(a,b).

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов a и b: , где - скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta).

4. Какие виды произведений векторов вычисляются Maple и какие команды для этого используются?

Скалярное произведение двух векторов вычисляется командой dotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов вычисляется командой crossprod(a,b).

5. Как вычислить норму вектора?

Норму (длину) вектора , которая равна , можно вычислить с помощью команды norm(а,2).

Можно нормировать вектор а с помощью команды normalize(a), в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины .

6. Как вычислить угол между двумя векторами?

Угол между двумя векторами a и b вычисляется с помощью команды angle(a,b).

7. Опишите команды нахождения базиса системы векторов и построение ортогонального базиса системы векторов.

Если имеется система n векторов , то с помощью команды basis([a1,a2,…,an]) можно найти базис этой системы.

При помощи команды GramSchmidt([a1,a2,…,an]) можно ортогонализовать систему линейно-независимых векторов .

8. Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?

Ø evalm(A&*B);

Ø multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор,

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число.

9. Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

10. Что такое дефект матрицы? Опишите способ нахождения дефекта квадратной матрицы. Какие команды при этом используются? Дефект матрицы определяется разницей между порядком матрицы и рангом матрицы. Вычисляется с помощью команд rowdim(A)-r(A).

11. Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?

Обратную матрицу А ^-1, такую что А ^-1 А = АА ^-1= Е, где Е - единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

Ø evalm(1/A);

Ø inverse(A).

12. Что называется собственным вектором и собственным числом матрицы? Что называется спектром матрицы? Какие команды используются для нахождения спектра матрицы и ее собственных векторов? В каком виде в Maple выводятся результаты выполнения этих команд?

Если А х =l х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число l – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A).

13. Перечислите специальные виды матриц и команды, приводящие матрицы к этим формам.

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

Ø команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

Ø команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

Ø команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.

Характеристическую матрицу можно вычислить командой charmat(A,lambda).

14. Что называется ядром матрицы, и какая команда используется для его нахождения?

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: . Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

15. Какая команда позволяет решать матричные уравнения?

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ = В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.