Text 5. Lagrange—Dirichlet Criterion

For Hamiltonian systems in canonical form, an equilibrium point (q_e, p_e)is a point at which the partial derivatives of H vanish, that is, it is a critical point of H. If the 2 n x 2 n matrix δ²H of second partial derivatives evaluated at (q_e, p_e) is positive or negative definite (that is, all the eigenvalues of δ²H (q_e, p_e) have the same sign), then (q_e, p_e) is stable. This follows from conservation of energy and the fact from calculus that the level sets of H near (q_e, p_e)are approximately ellipsoids. As mentioned earlier, this condition implies, but is not implied by, spectral stability. The KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser) theorem, which gives stability of periodic solutions for two -degree-of-freedom systems, and the Lagrange-Dirichlet theorem are the most basic general stability theorems for equilibria of Hamiltonian systems.

For example, let us apply the Lagrange-Dirichlet theorem to a classical mechanical system whose Hamiltonian has the form kinetic plus potential energy. If (q_e, p_e)is an equilibrium, it follows that p_e is zero. Moreover, the matrix δ ² H of second-order partial derivatives of H evaluated at (q_e, р_e)block diagonalizes, with one of the blocks being the matrix of the quadratic form of the kinetic energy, which is always positive definite. Therefore, if δ²H is definite, it must be positive definite, and this in turn happens if and only if δ²V is positive definite at q_e, where V is the potential energy of the system. We conclude that for a mechanical system whose Lagrangian is kinetic minus potential energy, (q_e,0) is a stable equilibrium, provided that the matrix δ²V (q_e) of second-order partial derivatives of the potential V at q_e is positive definite (or, more generally, q_e is a strict local minimum for V). If δ²V at q_e has a negative definite direction, then q_e is an unstable equilibrium.

Слова к тексту

canonical	[kə´nכnıkl]	канонический
equilibrium (pl также equilibriа)	[,і:kwı´lıbrıəm], [,і:kwı´lıbrıə]	равновесие
vanish	[´vænı∫]	обращаться в ноль
evaluate	[ı´væljυeıt]	вычислять, выражать, оценивать (численно)
conservation	[,kכnsə´veı∫ ə n]	сохранение
calculus	[´kælkjυləs]	исчисление
approximately	[ə´prכksımətlı]	приблизительно, приближенно
ellipsoid	[ı´lıpsכıd]	эллипсоид
mention	[´men∫n]	упоминать, ссылаться на
imply	[ım´plaı]	предлагать, означать
apply	[ə´plaı]	применять
Hamiltonian	[,hæmıl´təυnıən]	гамильтониан, функция Гамильтона
kinetic	[kaı´netık]	кинетический
potential	[pə´ten∫ ə l]	потенциальный
moreover	[mכ:r´əυvə]	сверх того, кроме того
second-order	[´sekənd ´כ:də]	второго порядка
block	[blכk]	блок
diagonalize	[daı,ægənə´laız]	диагонализировать
quadratic	[kwə´drætık]	квадратный, квадратичный
therefore	[´ðeəfכ:]	поэтому, следовательно
conclude	[kən´klu:d]	делать вывод, заключать
Lagrangian	[lə´grændζıən]	функция Лагранжа
minus	[´maınəs]	минус
provided that	[prə´vaıdıd ðæt]	при условии, если только
generally	[´dζenr ə lı]	в общем смысле, вообще
direction	[də´rek∫n]	направление
unstable	[´Λn´steıbl]	неустойчивый

Letters and Sounds

 

Task 1. Answer the following questions

1. Как читается сочетание gn в словах foreign, sign, assign, consign? Что такое sign? Знаете ли вы слова с этим корнем, где gn – [gn]? Какова взаимосвязь между чтением сочетания gn и буквы i в разных словах с этим корнем? Покажите ее на примерах.

 

2. Какие группы английских существительных пишутся с заглавной буквы? Когда могут так писаться названия наук? Почему с заглавной буквы пишутся слова Hamiltonian и Lagrangian? Как они образованы?

 

3. Почему слово criterion в названии текста 5 написано с заглавной буквы? Какие слова в заголовках пишутся со строчной буквы?

 

Task 2. Say and write what sound is pronounced in the following words:

 

1) s ign ify, 2) forei gn er, 3) ass ign, 4) ass ign ation, 5) ass ign ment, 6) s ign ature, 7) cons ign, 8) s ign al, 9) s ign er, 10) s ign board.

 

Task 3. Read aloud the following words from Text 5

 

Canonical, negative, mechanical, example, whose, stable, sign, critical, eigenvalue, quadratic, partial, unstable, second, approximately, conservation, matrix, calculus, general, theorem, mentioned, solution, classical, energy, generally, therefore, codition, conclude, local, Lagrangian, equilibrium, potential.

 

Grammar Activity

 

Task 1. Answer the following questions

 

1. Как переводится слово все: а) как определение, б) в значении все люди? Приведите примеры. Когда перед all ставится артикль the (сравните: All children like to play – All the children were there)? Вспомните, в форме какого числа употребляется глагол после everybody/everyone. Составьте предложения, где данные местоимения были бы подлежащими.

 

2. Как переводится русский глагол давать как синоним слова позволять? Ставится ли to перед инфинитивом после этого глагола? Приведите примеры.

Какое слово сокращено в обороте Let’s? Как он переводится? Как он переводился бы дословно? Составьте с ним предложения. Переведите предложения: Let’s go; Let me do it; Let him do it; Don’t let her cry.

 

3. Как обычно переводится слово whose? Как корректнее перевести словосочетание научного стиля a sequence whose first term is nonzero? Обратите внимание на изменение порядка слов при переводе.

 

4. Как перевести as shown above? Какая особая форма глагола присутствует в этом обороте и в его переводе?

 

5. Какому русскому причастию соответствует слово being? Попробуйте дать сначала дословный, затем литературный перевод следующего предложения: All the points lie on this line, with one of them being the centre of the given circle.

 

6. Можно ли по отсутствию артикля в названии текста 5 судить о том, что данное словосочетание всегда употребляется без артикля? Почему?

 

Task 2

 

a) Translate into Russian

 

A set whose elements can be counted; as seen from Table 1; with xy being one of the terms.

Let them help you. Don’t let him worry.

 

b) Translate into English

 

Все студенты любят получать хорошие оценки. Все студенты получили хорошие оценки. Пошли домой. Давайте я помогу вам. Пусть они не уходят. Дайте мне попробовать. Начнем! Давайте подождем. Пусть они попросят ее. Дайте мне возможность сделать это.

 

Task 3. Translate the phrases from Text 5

 

Lagrange – Dirichlet criterion; a system whose Hamiltonian has this form; equilibriun point; one of the blocks; as mentioned earlier; the level sets; the most basic theorem; the KAM theorem; more generally; two-degree-of-freedom systems; stability theorem; evaluated at (q_e, р_e); second-order partial derivatives; point of H; all the eigenvalues; conservation of energy; with one of the blocks being the matrix; sets of H; equilibria of Hamiltonian systems; not implied by spectral stability.

This follows from… This condition implies… It gives stability of… This happens if… It is not implied by spectral stability… It must be positive definite… It follows that… This follows from the fact that… It is a critical point… Then (q_e, р_e) is stable… It is always positive definite… Let us apply… We conclude that for a system whose Lagrangian is…

 

 

Word Formation

 

Task 1. Answer the following questions

 

Каким способом образовано слово three-dimensional?

Знаете ли вы английские слова, которые пишутся раздельно? Что позволяет считать их словами, а не сочетаниями слов?

 

Task 2. Translate without a dictionary

 

Ball-shaped, to roller skate, a visiting card, rose-coloured, a wisdom tooth, kindhearted.

 

Task 3. Translate the words from Text 5

 

Conservation, Hamiltonian, negative, classical, generally, condition, canonical, spectral, mechanical, unstable, stability, partial, periodic, kinetic, local, Lagrangian, solution, critical, basic, potential, diagonalize, freedom, positive, general, quadratic, approximately, two-degree-of-freedom (systems).

 

Words and Phrases