Дробово-лінійне програмування

Приклади дробово-лінійних задач

Приклад 7.1.

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:

 

Показник	Діяльність з вирощування	Ресурс
озимої пшениці, га	цукрових буряків, га	корів продуктивністю, кг	кормових культур, га
Урожайність, т/га			—	—	—	—		—
Собівартість, грн./т								—
Ціна, грн./т							—	—
Вихід кормів, тон кормо- вих одиниць/га	0,8	2,0	—	—	—	—		—
Витрати живої праці, людино-днів/га								26 000
Витрати механізованої праці, людино-днів/га								11 000
Частка корів у стаді	—	—	0,1	0,2	0,3	0,4	—
Потреба в кормах, т/гол	—	—		4,7	4,4	4,1	—	—

 

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі.

Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв’язання. Введемо позначення:

х ₁ — площа посіву озимої пшениці, га;

х ₂ — площа посіву цукрового буряка, га;

х ₃ — площа посіву кормових культур, га;

х ₄ — кількість корів продуктивністю 5000 кг;

х ₅ — кількість корів продуктивністю 4500 кг;

х ₆ — кількість корів продуктивністю 4000 кг;

х ₇ — кількість корів продуктивністю 3500 кг.

Запишемо критерій оптимальності:

за розглянутих далі умов.

1. Обмеження за ресурсами.

1) Ріллі:

.

2) Живої праці:

.

3) Механізованої праці:

.

2. Обмеження сівозміни.

1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:

.

2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:

.

3. Структура корів за продуктивністю.

1) Балансове рівняння щодо корів:

,

де — загальна кількість корів.

2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:

.

3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:

.

4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:

.

5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:

.

4. Забезпеченість корів кормами:

.

Невід’ємність змінних:

.

Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:

.

Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:

за розглянутих далі умов.

1. ,

,

.

2. , або ,

, або .

3. ,

,

,

,

.

4. .

5. .

Приклад 7.2.

Розв’язати графічно задачу дробово-лінійного програмування:

за умов

Розв’язання. Побудуємо на площині область допустимих роз­в’язків задачі — трикутник АВС.

 

 

Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів х ₁, х ₂ так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо х ₂ із цільової функції:

.

Кутовий коефіцієнт цільової функції

.

Розглянемо похідну

.

Оскільки при будь-якому значенні Z вона від’ємна, то функція R_Z є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт R_Z зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.

Знайдемо координати цих точок.

Точка А:

Звідси

Точка А має координати (6/7; 24/7).

Точка С:

Звідси

Точка С має координати (9/2; 1).

Знайдемо значення цільової функції в цих точках:

Результати (Z_C > Z_A) підтверджують, що оптимуми знайдено правильно: максимум досягається в точці С, а мінімум — у точці А.

 

Приклад 7.3.

Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування симплексним методом:

за умов

Розв’язування. Зведемо початкову задачу до задачі лінійного програмування згідно з розглянутими раніше правилами.

Позначимо .

Введемо нові змінні:

, .

Дістанемо задачу лінійного програмування:

за умов

Розв’яжемо задачу симплексним методом. У перше та останнє обмеження введемо штучні змінні y ₆, та y ₇.

Маємо оптимальний розв’язок перетвореної задачі:

, , , .

Знайдемо оптимальний розв’язок початкової задачі, враховуючи, що :

; ; ;

; .

Отже, ,

.

7.2 Приклади та завдання для самостійної роботи

Розв’язати графічно задачі дробово-лінійного програмування.

7.1. за умов	7.2. за умов
7.3. за умов	7.4. за умов
7.5. за умов	7.6. за умов
7.7. за умов	7.8. за умов
7.9. за умов	7.10. за умов

 

Розв’язати задачі дробово-лінійного програмування симплексним методом.

 

7.11. за умов	7.12. за умов
7.13. за умов	7.14. за умов
7.15. за умов	7.16. за умов
7.17. за умов	7.18. за умов

НЕЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ

Приклади розв’язання задач нелінійного програмування

Приклад 8.1.

Акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю відвело 1200 га ріллі під основні рослинницькі культури — озиму пшеницю та цукрові буряки.

Техніко-економічні показники вирощування цих культур відбиває таблиця:

 

Показник	Площа, га, відведена
під озиму пшеницю, х 1	під цукровий буряк, х 2
Урожайність, т/га
Ціна, грн./т
Собівартість, грн./т

 

Знайти оптимальну площу посіву озимої пшениці та цукрових буряків.

Розв’язування. Нехай х ₁ — площа ріллі, відведена під сотні га озимої пшениці; х ₂ — площа ріллі, відведена під цукрові буряки, сотні га.

Зауважимо, що собівартість однієї тони пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву.

Запишемо економіко-математичну модель. За критерій оптимальності візьмемо максимізацію валового прибутку:

за умов

.

Запишемо функцію Лагранжа:

Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Із цієї системи визначимо сідлову точку. З першої та другої рівностей знайдемо вирази для l₁ і прирівняємо їх:

,

або

(8.1)

Із останнього рівняння цієї системи маємо:

.

Підставивши значення у (8.1), дістанемо:

або .

Розв’язавши це квадратне рівняння, дістаємо (178 га); (553 га).

Відповідно дістаємо: (1022 га); (647 га). Тобто сідловими точками є такі:

Обчислимо значення цільової функції у цих точках:

Отже, цільова функція набуває максимального значення, якщо озима пшениця вирощується на площі 647 га, а цукровий буряк — на площі 553 га.

Приклад 8.2.

Попит на продукцію, що виготовляється на двох видах обладнання, становить 120 одиниць. Собівартість, тис. грн., виробництва одиниці продукції на обладнанні кожної групи залежить від обсягу такого виробництва — відповідно х ₁ і х ₂ — та подається у вигляді для першої групи: ; для другої групи: .

Знайти оптимальний план виробництва продукції на кожній групі обладнання, який за умови задоволення попиту потребує найменших витрат, пов’язаних із собівартістю продукції.

Розв’язування. Математична модель задачі:

за умов

Згідно з методом множників Лагранжа складемо функцію Лагранжа:

.

Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції за невідомими параметрами Х ₁, Х ₂ і l, дістанемо систему рівнянь:

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже, на першій групі обладнання необхідно випускати 66,5, а на другій 53,5 одиниць продукції. При цьому мінімальні витрати, тис. грн., становитимуть:

8.2 Приклади та завдання для самостійної роботи

За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму.

 

8.1. , .	8.2. , .
8.3. , .	8.4. , .
8.5. , .	8.6. , .
8.7. , .	8.8. , .
	8.9. , .	8.10. , .
	8.11. , .	8.12. , .
	8.13. , .	8.14. , .
	8.15. , .	8.16. , .
	8.17. , .	8.18. ,
	8.19. , .	8.20. , .
	8.21. ,	8.22. , .
	8.23. ,	8.24. ,
	8.25. ,	8.26. ,

 

8.27 На виробництво трьох видів продукції A, B і C витрачають матеріальні, трудові та фінансові ресурси. Норми витрат на одиницю продукції, сумарний запас,а також розмір прибутку від реалізації одиниці продукції, що залежить від обсягу виробництва (в умовних одиницях), відбиває таблиця:

 

Ресурси	Продукція	Запас ресурсів
А	В	С
Матеріальні
Трудові
Фінансові
Прибуток
Обсяг виробництва

 

Попит на продукцію видів В і С відомий і становить 12 і 8 од. Визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду, якщо ресурси потрібно використати повністю. Знайти оцінки ресурсів і подати економічний аналіз оптимального плану.

 

 

ДИНАМІЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ