Гистограмма случайной величины

Применение теории вероятности в инженерных расчетах тесно связано с теорией статистики, задача которой заключается в анализе данных, их сокращении и эквивалентировании, оценке правомочности тех или иных гипотез, предсказании поведения случайных величин. Наряду с такими известными вероятностными эквивалентами, как математическое ожидание и дисперсия, в практике широко используются функции распределения случайных величин, которые более информативно представляют рассматриваемые величины. Известны такие распределения, как нормальное, биномиальное, экспоненциальное, Пуассона, Стьюдента, Фишера и др.

Задача 3.5. Гипотеза о нормальном распределении

Требуется рассмотреть гипотезу о том, что выборка нагрузки (суточный график) подчиняется нормальному закону. Первоначально следует представить анализируемый набор данных (табл. 3.19.) в виде гистограммы. С этой целью разобьем диапазон случайных колебаний (P_min, P_max), например, на ряд интервалов одинаковой длины (в демонстрационном примере - 8 интервалов по 50 МВт, записанные в столбце С - табл. 3.20). Выборочные значения мощности (табл. 3.19.) записаны в столбце А2:А25.

Таблица 3.19.

Для представления на диаграмме каждый интервал характеризуется своим средним значением (столбец D). В столбце Е с помощью формулы массива =ЧАСТОТА(A2:A25;C3:C11)/24 формируются относительные частоты попадания случайной величины в заданный интервал. В ячейках С13:С15 вычисляются выборочные математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (СКО) ряда мощностей.

Для сопоставления частотного ряда с плотностью нормального распределения (НР) в столбце F приводятся значения этой функции, соответствующие серединам интервалов и умноженные на ширину интервала (вычислены по формуле F4:= 50*НОРМРАСП(D4;$C$13;$C$15;0) ). На рис. 3.20 представлены гистограмма и плотность НР для рассматриваемого ряда чисел. Нетрудно видеть, что приближение далеко от идеала.

Самостоятельная работа

· Найти СКО отклонений определяемых гистограммой экспериментальных значений от теоретических, определяемых плотностью нормального распределения.

· Представить на диаграмме плотность и интегральную вероятность стандартного нормального распределения.

· Решить задачу. Среднемесячная максимальная нагрузка энергосистемы составляет 1200 МВт. Стандартное отклонение МВт. Имеется резерв генерирующей мощности 100 МВт. Считая, что максимальная нагрузка описывается нормальным распределением, определить вероятность дефицита мощности.

Таблица 3.20.

	B	C	D	E	F
		Диапазон	среднее	Частота	f(x) (Н.Р).
				0,08	0,04
				0,13	0,09
				0,08	0,15
				0,17	0,19
				0,33	0,19
				0,04	0,15
				0,04	0,09
				0,13	0,05
	Среднее	552,6
	Дисперсия	9986,7	Сумма	1,00	0,96
	СКО	99,9

3.8.4. Регрессия

Рис. 3.20. Гистограмма и плотность НР

Математическое моделирование, связанное с инструментальным (через меню) выполнением оптимизационных расчетов, например при определении коэффициентов полинома в задаче прогнозировании графиков нагрузки (разд. 3.7), имеет тот недостаток, что при изменении исходных данных (ошибка, опечатка и др.) требуется повторная процедура оптимизации. Такие повторы не требуются, если имеется функция, ставящая в соответствие заданному набору данных требуемые результирующие величины. Задача прогнозирования нагрузки как случайной величины на основе предшествующих наблюдений относится к классу задач корреляции и регрессии, где производится оценка корреляционных и регрессионных характеристик по выборке. Для случайного вектора (t,P) выборка (объема n) дает n пар значений признака (t₁,P₁), (t₂,P₂),…, (t_n,P_n). В этом случае говорят о связной выборке. Аппарат теорий корреляций и регрессий позволяет оценить характеристики этой связи. В Excel имеется набор статистических функций (ЛИНЕЙН(), ПРЕДСКАЗ(), ТЕНДЕНЦИЯ(), НАКЛОН(), ЛГРФПРИБЛ () и др.), которые могут выполнить их расчет.

Функция ЛИНЕЙН(y; x; конст; статистика)

Эта функция использует метод наименьших квадратов, чтобы вычислить параметры линейной зависимости, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив параметров, который описывает данную линейную зависимость. Уравнение для линейной функции имеет следующий вид:

y = mx + b,

где зависимое значение y является функцией независимого значения x.

При большом числе факторов y = m₁x₁ + m₂x₂ +... + b функция ЛИНЕЙН() возвращает массив { m_n;m_n-1;...;m₁;b }. Функция ЛИНЕЙН() может также возвращать дополнительную регрессионную статистику. В этом случае синтаксис функции - ЛИНЕЙН(Y; X; конст; статистика),

где Y - это заданное множество значений y. Если массив Y имеет один столбец (одну строку), то каждый столбец (каждая строка) массива X интерпретируется как отдельная переменная;

X - это необязательное множество значений параметра x (по умолчанию ряд { х =1,2,....}), которые соотносятся с y = mx + b. Массив X может содержать одно или несколько множеств (строк, столбцов) переменных. Массивы Y и X должны иметь одинаковую размерность;

конст - это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом. Если конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения m подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y = mx;

Рис. 3.21. Статистики

статистика - это логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии. Если статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущена, то функция ЛИНЕЙН() возвращает только коэффициенты m и постоянную b. Если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН() возвращает дополнительную регрессионную статистику, так что возвращаемый массив будет иметь видрис. 3.21.