Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Закон распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, связывающее возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности. Закон распределения дискретной случайной величины задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т.е, таблицей
В которой x1, x2,..., xn,... - расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а р1, р2,..., рп,... — отвечающие этим значениям вероятности: pi = Р{Х = хi), i= 1, 2,..., п,.... Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно, S pi= 1. Многоугольником распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в Порядке возрастания хi. Функция распределения ДСВ Если - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < xi < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < pi < …, то таблица вида
называется распределением дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая
Математические операции над ДСВ 1. Произведение к на х называется случайная величина, которая принимает значение кхi с теми же самыми вероятностями. 2. Возведение случайной величины в степень: m -ой степенью СВ х называется СВ, которая принимает значение хim c теми же самыми вероятностями. 3. Суммой (разностью, произведением) СВ Х и Y называется СВ, которая принимает все возможные значения хi+yj (xi-yj; xiyj) с вероятностями того, что СВ Х принимает значение хi, а СВ Y принимает значение уj, т.е. р - вероятность того, что Р(Х=хi и Y=уj) равны произведению вероятностей событий: р(Х=хi)*p(Y=yj) Математическое ожидание ДСВ Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых:
М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn). Математическое ожидание числа появлений события в нез. исп. Пусть производят n - независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равняется числу p. Pn(A) = p. Чему равно среднее число появления события А в этих испытаниях? Х –СВ, отражающая число появления события А в n - независимых испытаний. М(Х)=? Теорема: мат. Ожидание числа появлений события А в n- независимых испытаниях равно произведению числа испытаний (n) на вероятность появления события А в каждом отдельном испытании (т.е. на р). М(Х) = np Док – во: Х1 -число появлений события А в 1-м испытании. Х2- число появлений события А во 2-м испытании. Хn- число появлений события А в n испытании. Х= Х1+Х2+…+Хn М(Х)=М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn) Х1 0 1 Р 1-р р М(Х1)= 0*(1-р)+1*р=р М(Х2)=1*р=р М(Хn)=р=>М(Х)=р+р+…+р(n раз)=np Дисперсия ДСВ Дисперсией D(X) СВ называют матем. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания, т.е. D(X)=M(X-M(X))2. Выбор дисперсии, определяемой по предыдущ. формуле в кач-ве хар-ки рассеивания значения СВ оправдывается тем, что дисперсия обладает св-вом минимальности. Это означает, что дисп. равна . Если X – это дискретн. СВ, то D(X)= . Если X – это непрерывн. СВ, принимающ. значения отрезка [a,b], то D(X)= f(x)dx, где f(x) – функция плотности распределения непрерывн. СВ X. D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно, поэтому в кач-ве показателя рассеивания используют также величину . Ее называют средним квадратич. отклонением. Основн. св-ва дисперсии: 1) Дисперс. алгебраич. суммы 2-ух независим. СВ X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т.е. D(X Y)=D(X)+D(Y). Доказ-во: D(X Y)= M[(X Y) – M(X Y)]2 = M((X Y) – (M(X) M(Y)))2 = M((X – M(X) (Y – M(Y)))2 = M[(X – M(X))2 2(X – M(X))(Y – M(Y)) + (Y – M(Y))]2 = M(X – M(X))2 2M(X – M(X))M(Y – M(Y)) + M(Y – M(Y))2 = D(X) + 0 + D(Y) = D(X)+D(Y); 2) Дисперсия постоян. величины равна 0, т.е. D(C)=0. Доказ-во: Т.к. M(C)=C, то D(C)= M(C – M(C))2 = M(C – C)2 = M(0) = 0; 3) Постоян. множитель С можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(CX)= C2D(X). Доказ-во: D(C)= M(CX – M(CX))2 = M(CX – CM(X))2 = M(C(X – M(X))2) = M(C2(X – M(X))2) = M(C2)M(X – M(X))2 = C2D(X); 4) Дисперсия СВ Х равна разности между мат. ожиданием квадрата СВ и квадратом ее мат. ожидания, т.е. D(X) = M(X2) – (M(X))2. Доказ-во: По определ. дисперсии D(X) = M(X – M(X))2 = M(X2 – 2X M(X) + (M(X))2) = M(X2) – M(2X M(X)) + M(M(X))2 = M(X2) – 2M(X) M(X) + (M(X))2 = M(X2) – (M(X))2. Замечание: При решении практич. задач для вычисления удобнее использовать формулу св-ва (4). Для дискретн. СВ эта формула будет иметь вид: D(X) = - (M(X))2. Для непрерывн. СВ: D(X) = - (M(X))2.
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-26; просмотров: 265; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.172.162.78 (0.008 с.) |